Determine o campo gradiente de f.
f(x, y)=x e^{y}+y e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x e^{y}+y e^{x}
e pede o campo gradiente \nabla f. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y, usando a regra do produto e a derivada de e^{t}, que é e^{t}.

Passo 2

Para \partial f/\partial x tratamos y como constante. Aplicamos:
\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y}) = e^{y},
\frac{\partial}{\partial x}(y e^{x}) = y\,e^{x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = e^{y} + y\,e^{x}.

Passo 3

Para \partial f/\partial y tratamos x como constante. Aplicamos:
\frac{\partial}{\partial y}(x e^{y}) = x\,e^{y},
\frac{\partial}{\partial y}(y e^{x}) = e^{x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x\,e^{y} + e^{x}.

Passo 4

Reunindo as derivadas parciais, o campo gradiente é
\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} e^{y} + y\,e^{x}\\[6pt] x\,e^{y} + e^{x} \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl(e^{y}+y\,e^{x},\;x\,e^{y}+e^{x}\bigr).

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