Represente geometricamente os campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=\vec{j}-\vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica do campo vetorial \vec F(x,y,z)=\vec j-\vec k.
O conteúdo aqui é campos vetoriais constantes em \mathbb R^3, e vamos precisar interpretar suas componentes, magnitude e linhas de campo.

Passo 2

Observe que \vec F(x,y,z) não depende de (x,y,z), sendo um campo constante com componente
(0,\,1,\,-1).
A magnitude é
\|\vec F\|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}
e a direção é a do vetor unitário
\frac{1}{\sqrt{2}}\,(0,\,1,\,-1).

Passo 3

As linhas de campo satisfazem o sistema
\frac{dx}{0} \;=\;\frac{dy}{1}\;=\;\frac{dz}{-1}.
Da primeira razão segue x= constante. Integrando dy=dt e dz=-dt temos
y+z=\text{constante}.
Logo cada linha de campo é uma reta paramétrica
\vec r(t)=(x_0,\;y_0+t,\;z_0-t).

Passo 4

Para desenhar, escolha vários pontos (por exemplo, nós de um cubo em \mathbb R^3) e em cada ponto trace um vetor de mesmo comprimento \sqrt{2}, paralelo a \vec j-\vec k, isto é, apontando para +\!y e -\!z. O resultado é um “tapete” de setas uniformes e paralelas por todo o espaço.

Resposta

O campo \vec F(x,y,z)=\vec j-\vec k é constante, formado por vetores paralelos de magnitude \sqrt{2} e direção \frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1). Suas linhas de campo são retas x= const e y+z= const, e geometricamente se representa por um conjunto uniforme de setas paralelas apontando no sentido positivo de y e negativo de z.

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