Represente geometricamente os campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede que o representemos geometricamente.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- A expressão de
em todos os pontos com . - Não há outros dados; a representação pede que eu descreva direção, módulo, linhas de corrente e comportamento especial (e.g. singularidades).
O que é pedido: desenhar/interpretar geometricamente o campo (direção dos vetores, como variam em função de, singularidades, linhas de corrente).
Passo 2
Dominío e singularidades — onde o campo está definido:
- O denominador é
. Logo está definido para todos os pontos com , isto é, em . - No ponto
o campo é indefinido (singularidade).
Passo 3
Fatoração que revela a direção dos vetores. Observe que podemos escrever
Isto é importante porque mostra:
- A direção do vetor em cada ponto é (quando
) a mesma direção fixa , ou seja um vetor apontando 45° acima da direção negativa do eixo (direção NW). - O sinal de
inverte a orientação: se os vetores apontam na direção ; se apontam em (direção oposta).
Portanto geometricamente todos os vetores são paralelos entre si (ou anti-paralelos), alinhados na direção.
Passo 4
Módulo do campo e variação radial. Calculemos o módulo:
Interpretação:
- O módulo depende de
e de . - Para
o módulo decai como (pois então ). - Próximo à origem (mas não em
) o módulo pode ficar grande porque o denominador fica pequeno; há comportamento singular próximo à origem. - Sobre o eixo
(quando e ) temos , i.e. o vetor é o vetor nulo ali.
Passo 5
Comportamento em pontos e eixos (exemplos numéricos para desenhar):
- Em
: . (vetor de comprimento , direção ) - Em
: . - Em
: (mesma direção invertida). - Em
: e . - Em
: .
Esses pontos mostram: todos os vetores são paralelos a, com tamanho decrescente à medida que cresce; no eixo são nulos; cruzam o eixo trocando sinal conforme muda de sinal.
Passo 6
Linhas de corrente (curvas tangentes ao campo) — cálculo:
- Se
for linha de corrente então quando . - Aqui, para pontos com
,
- Integrando obtemos as famílias de linhas
com
constante. Assim as linhas de corrente são retas de declive
(slope
).
Observação sobre : no eixo
temos
(campo nulo), logo ali não há fluxo “deslocando” partículas — o campo se anula. Mesmo assim a família de retas
cruza o eixo
, e a equação das linhas de corrente é válida por continuidade do campo exceto exatamente no ponto singular
.
Observação sobre
Passo 7
Resumo do comportamento dinâmico e singularidades (o que desenhar):
- Direção dos vetores: todos paralelos a
(45° NW) quando ; para apontam na direção oposta (SE). - Linhas de corrente: retas
. - Módulo:
— maior perto da origem (exceto sobre o eixo onde é zero) e decaindo para o infinito. - Singularidade:
não está no domínio. - Eixo
: conjunto de pontos onde .
Para desenhar: trace várias retas(várias constantes ), em cada ponto dessas retas desenhe uma seta paralela a cujas comprimentos seguem ; marque o eixo como local onde as setas têm comprimento zero e marque como ponto excluído.
Passo 8
Observações finais e dicas para o esboço:
- No quadrante
as setas apontam para cima à esquerda; no quadrante apontam para baixo à direita. - Próximo ao eixo
(pequeno ), as setas têm magnitude aproximadamente (veja exemplo em : ). - Lembre-se de não desenhar nada no ponto
e de reduzir o comprimento das setas conforme aumenta a distância ao centro. - Para um esboço rápido na prova: desenhe algumas retas
, coloque setas paralelas a variando o comprimento conforme a distância ao origem e note que sobre o eixo as setas desaparecem.
Resposta
- Todos os vetores são paralelos ao vetor
; a orientação é quando e invertida quando . - Linhas de corrente:
. - Módulo:
. - Domínio:
; o ponto é singular. - Eixo
(exceto a origem): (vetor nulo).