Represente geometricamente os campos vetoriais:
\vec{F}=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \hat{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \hat{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = -\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\hat{i} + \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\hat{j}
e pede que o representemos geometricamente.
Informações dadas importantes:
  • A expressão de \vec{F} em todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0.
  • Não há outros dados; a representação pede que eu descreva direção, módulo, linhas de corrente e comportamento especial (e.g. singularidades).
    O que é pedido: desenhar/interpretar geometricamente o campo (direção dos vetores, como variam em função de (x,y), singularidades, linhas de corrente).

Passo 2

Dominío e singularidades — onde o campo está definido:
  • O denominador é x^{2}+y^{2}. Logo \vec{F} está definido para todos os pontos com x^{2}+y^{2}\neq0, isto é, em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
  • No ponto (0,0) o campo é indefinido (singularidade).

Passo 3

Fatoração que revela a direção dos vetores. Observe que podemos escrever
\vec{F}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\;(-\hat{i}+\hat{j}).
Isto é importante porque mostra:
  • A direção do vetor em cada ponto é (quando \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\neq0) a mesma direção fixa -\hat{i}+\hat{j}, ou seja um vetor apontando 45° acima da direção negativa do eixo x (direção NW).
  • O sinal de x inverte a orientação: se x>0 os vetores apontam na direção -\hat{i}+\hat{j}; se x<0 apontam em \hat{i}-\hat{j} (direção oposta).
    Portanto geometricamente todos os vetores são paralelos entre si (ou anti-paralelos), alinhados na direção -1,1.

Passo 4

Módulo do campo e variação radial. Calculemos o módulo:
\|\vec{F}\|=\sqrt{\left(-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}} =\sqrt{2}\,\frac{|x|}{x^{2}+y^{2}}.
Interpretação:
  • O módulo depende de |x| e de r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Para r\to\infty o módulo decai como O(1/r) (pois |x|\le r então \|F\|\lesssim \sqrt{2}/r).
  • Próximo à origem (mas não em (0,0)) o módulo pode ficar grande porque o denominador fica pequeno; há comportamento singular próximo à origem.
  • Sobre o eixo y (quando x=0 e y\neq0) temos \|\vec{F}\|=0, i.e. o vetor é o vetor nulo ali.

Passo 5

Comportamento em pontos e eixos (exemplos numéricos para desenhar):
  • Em (1,0): \vec{F}(-) = \big(-1,\,1\big). (vetor de comprimento \sqrt{2}, direção -\hat{i}+\hat{j})
  • Em (2,0): \vec{F} = \big(-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}\big).
  • Em (-1,0): \vec{F} = \big(1,\,-1\big) (mesma direção invertida).
  • Em (1,1): r^{2}=2 e \vec{F} = \big(-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}\big).
  • Em (0,1): \vec{F} = (0,0).
    Esses pontos mostram: todos os vetores são paralelos a (-1,1), com tamanho decrescente à medida que r cresce; no eixo y são nulos; cruzam o eixo x trocando sinal conforme x muda de sinal.

Passo 6

Linhas de corrente (curvas tangentes ao campo) — cálculo:
  • Se \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) for linha de corrente então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{F_y}{F_x} quando F_x\neq0.
  • Aqui, para pontos com x\neq0,
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x}{x^{2}+y^{2}}}{-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}}=-1.
  • Integrando obtemos as famílias de linhas
y=-x+C,
com C constante. Assim as linhas de corrente são retas de declive -1 (slope -1).
Observação sobre x=0: no eixo y temos \vec{F}=(0,0) (campo nulo), logo ali não há fluxo “deslocando” partículas — o campo se anula. Mesmo assim a família de retas y=-x+C cruza o eixo y, e a equação das linhas de corrente é válida por continuidade do campo exceto exatamente no ponto singular (0,0).

Passo 7

Resumo do comportamento dinâmico e singularidades (o que desenhar):
  • Direção dos vetores: todos paralelos a -\hat{i}+\hat{j} (45° NW) quando x>0; para x<0 apontam na direção oposta (SE).
  • Linhas de corrente: retas y=-x+C.
  • Módulo: \|\vec{F}\|=\sqrt{2}\dfrac{|x|}{x^{2}+y^{2}} — maior perto da origem (exceto sobre o eixo y onde é zero) e decaindo para o infinito.
  • Singularidade: (0,0) não está no domínio.
  • Eixo y: conjunto de pontos onde \vec{F}=(0,0).
    Para desenhar: trace várias retas y=-x+C (várias constantes C), em cada ponto dessas retas desenhe uma seta paralela a -\hat{i}+\hat{j} cujas comprimentos seguem \sqrt{2}|x|/(x^{2}+y^{2}); marque o eixo y como local onde as setas têm comprimento zero e marque (0,0) como ponto excluído.

Passo 8

Observações finais e dicas para o esboço:
  • No quadrante x>0 as setas apontam para cima à esquerda; no quadrante x<0 apontam para baixo à direita.
  • Próximo ao eixo x (pequeno y), as setas têm magnitude aproximadamente \sim 1/|x| (veja exemplo em y=0: \vec{F}=(-1/x,1/x)).
  • Lembre-se de não desenhar nada no ponto (0,0) e de reduzir o comprimento das setas conforme aumenta a distância ao centro.
  • Para um esboço rápido na prova: desenhe algumas retas y=-x+C, coloque setas paralelas a (-1,1) variando o comprimento conforme a distância ao origem e note que sobre o eixo y as setas desaparecem.

Resposta

  • Todos os vetores são paralelos ao vetor -\hat{i}+\hat{j}; a orientação é -\hat{i}+\hat{j} quando x>0 e invertida quando x<0.
  • Linhas de corrente: y=-x+C.
  • Módulo: \|\vec{F}\|=\sqrt{2}\dfrac{|x|}{x^{2}+y^{2}}.
  • Domínio: \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}; o ponto (0,0) é singular.
  • Eixo y (exceto a origem): \vec{F}=(0,0) (vetor nulo).

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