Calcular a soma S_{n}=\sum_{k=0}^{n} k x^{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} k x^{k}.
O que nos dão:
  • A expressão da soma com índice k indo de 0 até n.
  • A soma envolve a variável x (que pode ser qualquer número real ou complexo; trataremos o caso x=1 separadamente).
    O que devemos entregar:
  • Uma fórmula fechada para S_{n} em termos de n e x.

Passo 2

Regra útil que vamos usar: a soma geométrica finita. Para todo x (com x\neq1) vale
G(x):=\sum_{k=0}^{n} x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade (é uma técnica básica que aparece muito em provas): escrevendo G(x) e multiplicando por (1-x),
(1-x)G(x) = G(x) - xG(x) = \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1}.
No lado direito quase tudo cancela e sobra apenas 1 - x^{n+1}, portanto (1-x)G(x)=1-x^{n+1}, e isolando G(x) obtemos a fórmula acima. Essa manipulação é válida para x\neq1.

Passo 3

Observação sobre diferenciação termo a termo: como aqui a soma é finita, podemos derivar termo a termo sem problema. Note que
G'(x)=\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} x^{k}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{d}{dx}x^{k}=\sum_{k=0}^{n} k x^{k-1}.
Multiplicando por x obtemos exatamente a soma que queremos:
xG'(x)=\sum_{k=0}^{n} k x^{k}=S_{n}.
Então basta calcular G'(x) a partir da expressão fechada de G(x) e multiplicar por x.

Passo 4

Vamos derivar G(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} usando a regra do quociente. Defina
A(x)=1-x^{n+1},\qquad B(x)=1-x.
Então G(x)=A(x)/B(x). As derivadas são A'(x)=-(n+1)x^{n} e B'(x)=-1. Pela regra do quociente:
G'(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^2}.
Agora calculamos o numerador passo a passo:
A'(x)B(x)-A(x)B'(x)=\bigl(-(n+1)x^{n}\bigr)(1-x)-(1-x^{n+1})(-1).
Expandindo e simplificando:
=-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}
=1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}.
Portanto
G'(x)=\frac{1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}}{(1-x)^{2}}.

Passo 5

Lembrando que S_{n}=xG'(x), multiplicamos a expressão encontrada por x:
S_{n}=x\cdot\frac{1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}}{(1-x)^{2}}.
Podemos deixar assim ou expandir o numerador:
S_{n}=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+n x^{n+2}}{(1-x)^{2}}.
Essa fórmula é válida para x\neq1. É sempre bom verificar casos especiais: se x=0 a soma é S_{n}=0 (a fórmula acima dá 0 também), e se x=1 a derivação anterior não vale porque usamos a fórmula geométrica com 1-x no denominador.

Passo 6

Caso especial x=1: então S_{n}=\sum_{k=0}^{n} k\cdot1^{k}=\sum_{k=0}^{n} k. A soma dos primeiros n inteiros não-negativos é
S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}.
(Recorde: soma aritmética com n+1 termos de 0 a n.)

Resposta

\text{Para }x\neq1:\qquad S_{n}=\frac{x\bigl(1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}\bigr)}{(1-x)^{2}}=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+n x^{n+2}}{(1-x)^{2}}.
\text{Para }x=1:\qquad S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}.

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