Calcular a soma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
O que nos dão:
- A expressão da soma com índice
indo de até . - A soma envolve a variável
(que pode ser qualquer número real ou complexo; trataremos o caso separadamente).
O que devemos entregar: - Uma fórmula fechada para
em termos de e .
Passo 2
Regra útil que vamos usar: a soma geométrica finita. Para todo
(com
) vale
Vou mostrar rapidamente por que isso é verdade (é uma técnica básica que aparece muito em provas): escrevendo
e multiplicando por
,
No lado direito quase tudo cancela e sobra apenas
, portanto
, e isolando
obtemos a fórmula acima. Essa manipulação é válida para
.
Passo 3
Observação sobre diferenciação termo a termo: como aqui a soma é finita, podemos derivar termo a termo sem problema. Note que
Multiplicando por
obtemos exatamente a soma que queremos:
Então basta calcular
a partir da expressão fechada de
e multiplicar por
.
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra do quociente. Defina
Então
. As derivadas são
e
. Pela regra do quociente:
Agora calculamos o numerador passo a passo:
Expandindo e simplificando:
Portanto
Passo 5
Lembrando que
, multiplicamos a expressão encontrada por
:
Podemos deixar assim ou expandir o numerador:
Essa fórmula é válida para
. É sempre bom verificar casos especiais: se
a soma é
(a fórmula acima dá
também), e se
a derivação anterior não vale porque usamos a fórmula geométrica com
no denominador.
Passo 6
Caso especial
: então
. A soma dos primeiros
inteiros não-negativos é
(Recorde: soma aritmética com
termos de
a
.)