Seja
. Se
é limitado superiormente mostrar que
admite elemento máximo. Dê um exemplo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
com . - Sabe-se que
é limitado superiormente (existe um número real que é limite superior de ). - Pede-se para mostrar que
admite elemento máximo (ou seja, existe tal que para todo ). - Pede-se também um exemplo concreto de um conjunto
não vazio e limitado superiormente, indicando seu máximo.
Passo 2
Introduzindo a ideia-chave (explicando os conceitos usados):
- Como
é não vazio e limitado superiormente, pela propriedade de completude de existe o supremo de . Vamos chamar
Aqui
significa o menor (mais baixo) dos limites superiores de
; formalmente: (i) todo
satisfaz
(ou seja,
é um limite superior) e (ii) para qualquer
existe
com
(isso garante que não existe limite superior menor que
). Vou usar essas duas propriedades várias vezes. É importante entender: supremo é um número real, ainda não sabemos se pertence a
.
Passo 3
Mostrando que
é um inteiro (uso da “discretude” dos inteiros):
- Suponha, por absurdo, que
. - Defina
(a parte inteira de ). Por definição de piso tem-se
com
e
.
- Como
e é o menor limite superior, não pode ser um limite superior de . Logo existe tal que
- Mas
e implicam (porque entre inteiros não há valores estranhos), logo
- A partir de
obtemos , o que contradiz o fato de ser um limite superior (todos os devem satisfazer ). - Essa contradição mostra que a hipótese
é impossível. Portanto
Passo 4
Mostrando que
(logo
é máximo):
- Agora já sabemos que
é um inteiro e que é um limite superior de (isto é, para todo ). - Se
, usamos a propriedade do supremo: para existe tal que
- Como
e , a desigualdade força (porque o inteiro imediatamente abaixo de é , e não satisfaz ). Assim . - Mas já sabemos que todo
satisfaz . Portanto e implicam . - Assim existe
com , ou seja, . - Conclusão:
pertence a e, por ser limite superior, é o maior elemento de . Logo admite elemento máximo, concretamente .
(Dica intuitiva: a razão de isso dar certo é que os inteiros não têm pontos de acumulação por baixo — eles são “separados” por 1 — então o supremo, que é o limite superior mais apertado, não pode ficar num meio real entre inteiros sem que algum inteiro de
ultrapasse esse meio.)
Passo 5
Exemplo concreto (um bem simples e explícito):
- Tome
- Esse conjunto é não vazio, está contido em
e é limitado superiormente (por exemplo, é um limite superior). Observando os inteiros menores que vemos que o maior deles que pertence a é . Assim
- Outro exemplo:
tem . Qualquer conjunto finito de inteiros não vazio é um caso trivial, e também há conjuntos infinitos com teto (por exemplo tem máximo ).