Determine o campo gradiente de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo gradiente de
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais em funções de três variáveis. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para obter
,
e
.
Passo 2
Cálculo de
.
Para o termo , trata-se de um produto
em que
é constante em relação a
, logo
Para o termo
Para o termo
,
é constante em relação a
e
, logo
Somando os dois resultados,
Passo 3
Cálculo de
.
Para , aplicamos a regra da cadeia:
Para
Para
, apenas
varia, então
Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Para , de novo regra da cadeia:
Para
Para
, apenas
varia, então
Logo
Passo 5
Agora escrevemos o campo gradiente
agrupando as três componentes: