Determine o campo gradiente de f.
f(x, y, z)=x e^{y z}+y z e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo gradiente de
f(x,y,z)=x\,e^{yz}+y\,z\,e^{x}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais em funções de três variáveis. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para obter \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Para o termo x\,e^{yz}, trata-se de um produto x\cdot e^{yz} em que e^{yz} é constante em relação a x, logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) = e^{yz}.
Para o termo y\,z\,e^{x}, y\,z é constante em relação a x e \frac{d}{dx}e^x=e^x, logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,z\,e^x\bigr) = y\,z\,e^x.
Somando os dois resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{yz} + y\,z\,e^x.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Para x\,e^{yz}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) = x\cdot e^{yz}\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial y} = x\,e^{yz}\cdot z = x\,z\,e^{yz}.
Para y\,z\,e^x, apenas y varia, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,z\,e^x\bigr) = z\,e^x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,z\,e^{yz} + z\,e^x.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Para x\,e^{yz}, de novo regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,e^{yz}\bigr) = x\cdot e^{yz}\cdot\frac{\partial (yz)}{\partial z} = x\,e^{yz}\cdot y = x\,y\,e^{yz}.
Para y\,z\,e^x, apenas z varia, então
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\,z\,e^x\bigr) = y\,e^x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y\,e^{yz} + y\,e^x.

Passo 5

Agora escrevemos o campo gradiente \nabla f agrupando as três componentes:
\nabla f(x,y,z) =\biggl( \underbrace{e^{yz} + y\,z\,e^x}_{\partial f/\partial x},\; \underbrace{x\,z\,e^{yz} + z\,e^x}_{\partial f/\partial y},\; \underbrace{x\,y\,e^{yz} + y\,e^x}_{\partial f/\partial z} \biggr).

Resposta

\nabla f(x,y,z) = \bigl(e^{yz} + y\,z\,e^x,\;x\,z\,e^{yz} + z\,e^x,\;x\,y\,e^{yz} + y\,e^x\bigr).

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