Para \mathcal{C} a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2 u.c. Determine:
(1)
\iint_{K}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d A
\int_{\mathcal{C}}\left(\frac{5 x^{2} y}{2}\right) d s

Passo 1

O enunciado define \mathcal C como a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem e pede:
  1. a integral dupla sobre K, região delimitada por \mathcal C (o semidisco de raio 2 acima do eixo x), de \sqrt{x^2+y^2};
  2. a integral de linha ao longo de \mathcal C de \tfrac{5x^2y}{2}\,ds.
    Para (1) usaremos coordenadas polares \bigl(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\bigr). Para (2) parametrizamos \mathcal C por
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,\pi],
e usaremos ds=\bigl|\mathbf r'(t)\bigr|\,dt.

Passo 2

Integral dupla em coordenadas polares. Temos \sqrt{x^2+y^2}=r e dA=r\,dr\,d\theta, com
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le\pi.
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\iint_K \sqrt{x^2+y^2}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\!\!\int_{r=0}^{2} r\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2} r^2\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{0}^{2}d\theta =\int_{0}^{\pi}\tfrac{8}{3}\,d\theta =\tfrac{8}{3}\,\pi.

Passo 3

Integral de linha sobre \mathcal C. Parametrização \mathbf r(t)=(2\cos t,2\sin t)
\mathbf r'(t)=(-2\sin t,2\cos t),\quad \bigl|\mathbf r'(t)\bigr|=2,
então ds=2\,dt. Substituindo x=2\cos t, y=2\sin t:
\int_{\mathcal C}\frac{5x^2y}{2}\,ds =\int_{0}^{\pi}\frac{5\,(2\cos t)^2\,(2\sin t)}{2}\;(2\,dt) =\int_{0}^{\pi}40\cos^2t\sin t\,dt.
Fazendo u=\cos t, du=-\sin t\,dt, muda os limites t=0\to u=1, t=\pi\to u=-1:
\int_{0}^{\pi}40\cos^2t\sin t\,dt =40\int_{1}^{-1}u^2(-du) =40\int_{-1}^{1}u^2\,du =40\Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =40\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{80}{3}.

Resposta

A integral dupla vale \displaystyle \frac{8\pi}{3} e a integral de linha vale \displaystyle \frac{80}{3}.

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