Para \mathcal{C} a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2 u.c. Determine:
(1)
\iint_{K}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d A
\int_{\mathcal{C}}\left(\frac{5 x^{2} y}{2}\right) d s
Passo 1
O enunciado define \mathcal C como a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem e pede:
a integral dupla sobre K, região delimitada por \mathcal C (o semidisco de raio 2 acima do eixo x), de \sqrt{x^2+y^2};
a integral de linha ao longo de \mathcal C de \tfrac{5x^2y}{2}\,ds.
Para (1) usaremos coordenadas polares \bigl(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\bigr). Para (2) parametrizamos \mathcal C por
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad t\in[0,\pi],
e usaremos ds=\bigl|\mathbf r'(t)\bigr|\,dt.
Passo 2
Integral dupla em coordenadas polares. Temos \sqrt{x^2+y^2}=r e dA=r\,dr\,d\theta, com