Resolva as seguintes equações:
(a) z+\bar{z}=4
(b) z+3 \bar{z}=-4 i
(c) z+2 \bar{z}=3+2 i

Passo 1

O enunciado pede para resolver três equações que envolvem um número complexo z e seu conjugado \bar{z}. Para isso, vamos usar a forma cartesiana
z = x + i y,
onde x,y\in\mathbb{R}, e lembrar que
\bar{z} = x - i y.

Passo 2

Substituindo z = x + i y e \bar{z} = x - i y em qualquer combinação z + k\,\bar{z} obtemos uma expressão na forma (1+k)x + i(1-k)y. Em cada caso igualamos parte real e parte imaginária para resolver x e y.

Passo 3

Para (a)
z + \bar{z} = 4
substituindo
(x + i y) + (x - i y) = 2x = 4.
Logo
x = 2,
e y fica livre. Portanto a solução geral é
z = 2 + i y,\quad y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para (b)
z + 3\bar{z} = -4\,i
substituindo
(x + i y) + 3(x - i y) = 4x - 2i y = -4i.
Igualando partes real e imaginária:
4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0,
-2y = -4 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Assim
z = 0 + 2i = 2i.

Passo 5

Para (c)
z + 2\bar{z} = 3 + 2i
substituindo
(x + i y) + 2(x - i y) = 3x - i y = 3 + 2i.
Igualando partes real e imaginária:
3x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 1,
-\,y = 2 \quad\Rightarrow\quad y = -2.
Logo
z = 1 - 2i.

Resposta

(a) z = 2 + i y, com y\in\mathbb{R}.
(b) z = 2i.
(c) z = 1 - 2i.

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