Represente geometricamente os conjuntos:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que é pedido: representar geometricamente o conjunto
, isto é, descrever e explicar a figura no plano que corresponde a todos os pares
que satisfazem a equação
. Informações dadas relevantes: a equação linear envolvendo
e
.
Passo 2
Isolar
para deixar a equação em forma mais familiar. A equação é
Somando
em ambos os lados e subtraindo
obtemos
Explicação didática: resolver uma equação linear em duas variáveis consiste em expressar uma variável em função da outra; aqui ficou explícito que
é o dobro de
.
Passo 3
Interpretar a forma
. Essa é a forma conhecida como forma “coeficiente angular” ou “inclinação” (forma
), onde:
-
é o coeficiente angular (slope), que mede quanto sobe quando cresce uma unidade; -
é o coeficiente linear (intercepto no eixo ), que é o valor de quando .
No nosso caso:
Significado prático: a reta tem inclinação
(sobe 2 unidades em
para cada 1 unidade em
) e passa pelo ponto
(a origem).
Passo 4
Construir pontos concretos para desenhar a reta. Escolher valores simples de
e calcular
:
- Para
: , ponto . - Para
: , ponto . - Para
: , ponto .
Explicação prática: para desenhar a reta no papel milimetrado, plote os pontos
,
e
e una-os; como os pontos são colineares eles definem a reta inteira.
Passo 5
Dar a forma vetorial/paramétrica, que ajuda a entender direção e origem da reta. A equação
é equivalente a
Explicação: escolher
faz
, então todos os pontos da reta são múltiplos escalares do vetor
. O vetor
é o vetor diretor da reta: indica a direção e sentido; multiplique por
para alcançar qualquer ponto da reta. Observação útil para prova: isso mostra que
é uma subvariedade unidimensional (uma reta) que passa pela origem.
Passo 6
Determinar o ângulo que a reta faz com o eixo
(opcional, mas útil para visualizar). Se a inclinação é
, então o ângulo
satisfaz
logo
Interpretação: a reta é relativamente inclinada para cima, formando cerca de
com o eixo
.
Passo 7
Resumo de como representar geometricamente: desenhe os eixos
e
, marque os pontos
,
,
e trace a reta que passa por eles; essa reta corresponde a todos os pontos que satisfazem
. Mentalmente ou na prova, basta apresentar a equação
, o vetor diretor
e dois pontos para caracterizar a reta.