Represente geometricamente os conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 2 x-y=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 2x-y=0\}.
O que é pedido: representar geometricamente o conjunto A, isto é, descrever e explicar a figura no plano que corresponde a todos os pares (x,y) que satisfazem a equação 2x-y=0. Informações dadas relevantes: a equação linear envolvendo x e y.

Passo 2

Isolar y para deixar a equação em forma mais familiar. A equação é
2x-y=0.
Somando y em ambos os lados e subtraindo 0 obtemos
y=2x.
Explicação didática: resolver uma equação linear em duas variáveis consiste em expressar uma variável em função da outra; aqui ficou explícito que y é o dobro de x.

Passo 3

Interpretar a forma y=2x. Essa é a forma conhecida como forma “coeficiente angular” ou “inclinação” (forma y=mx+b), onde:
  • m é o coeficiente angular (slope), que mede quanto y sobe quando x cresce uma unidade;
  • b é o coeficiente linear (intercepto no eixo y), que é o valor de y quando x=0.
    No nosso caso:
m=2,\qquad b=0.
Significado prático: a reta tem inclinação 2 (sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade em x) e passa pelo ponto (0,0) (a origem).

Passo 4

Construir pontos concretos para desenhar a reta. Escolher valores simples de x e calcular y=2x:
  • Para x=0: y=2\cdot0=0, ponto (0,0).
  • Para x=1: y=2\cdot1=2, ponto (1,2).
  • Para x=-1: y=2\cdot(-1)=-2, ponto (-1,-2).
Explicação prática: para desenhar a reta no papel milimetrado, plote os pontos (0,0), (1,2) e (-1,-2) e una-os; como os pontos são colineares eles definem a reta inteira.

Passo 5

Dar a forma vetorial/paramétrica, que ajuda a entender direção e origem da reta. A equação y=2x é equivalente a
(x,y)=t(1,2),\quad t\in\mathbb{R}.
Explicação: escolher t=x faz y=2t, então todos os pontos da reta são múltiplos escalares do vetor (1,2). O vetor (1,2) é o vetor diretor da reta: indica a direção e sentido; multiplique por t para alcançar qualquer ponto da reta. Observação útil para prova: isso mostra que A é uma subvariedade unidimensional (uma reta) que passa pela origem.

Passo 6

Determinar o ângulo que a reta faz com o eixo x (opcional, mas útil para visualizar). Se a inclinação é m=2, então o ângulo \theta satisfaz
\tan\theta=2,
logo
\theta=\arctan(2)\approx63{,}43^\circ.
Interpretação: a reta é relativamente inclinada para cima, formando cerca de 63{,}43^\circ com o eixo x.

Passo 7

Resumo de como representar geometricamente: desenhe os eixos x e y, marque os pontos (0,0), (1,2), (-1,-2) e trace a reta que passa por eles; essa reta corresponde a todos os pontos que satisfazem y=2x. Mentalmente ou na prova, basta apresentar a equação y=2x, o vetor diretor (1,2) e dois pontos para caracterizar a reta.

Resposta

A é a reta \,y=2x, isto é, a reta que passa pela origem com vetor diretor (1,2) (ou forma paramétrica (x,y)=t(1,2),\\ t\in\mathbb{R}).

Exercícios relacionados