Dados os vetores v_{1}=(0,1,3), v_{2}=(-1,0,4) e v_{3}=(5,-1,0), efetue as operações indicadas.
2 v_{3}-4 v_{2}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede uma operação entre eles. Informações fornecidas:
  • v_{1}=(0,1,3).
  • v_{2}=(-1,0,4).
  • v_{3}=(5,-1,0).
O que é pedido: calcular 2 v_{3}-4 v_{2}.

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação por escalar: se v=(v_1,v_2,v_3) e a é um escalar, então
a v = (a v_1,\; a v_2,\; a v_3).
Isto significa que multiplicar um vetor por um número é multiplicar cada componente do vetor por esse número.

Passo 3

Aplicando a regra ao termo 2 v_{3}. Como v_{3}=(5,-1,0), temos
2 v_{3} = (2\cdot 5,\; 2\cdot (-1),\; 2\cdot 0).
Efetuando as multiplicações:
2 v_{3} = (10,\; -2,\; 0).

Passo 4

Agora aplicando a regra ao termo 4 v_{2}. Como v_{2}=(-1,0,4), temos
4 v_{2} = (4\cdot (-1),\; 4\cdot 0,\; 4\cdot 4).
Efetuando:
4 v_{2} = (-4,\; 0,\; 16).

Passo 5

Regra de subtração de vetores: se u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3), então
u-w = (u_1-w_1,\; u_2-w_2,\; u_3-w_3).
Aplicando aos vetores que encontramos:
2 v_{3} - 4 v_{2} = (10,\,-2,\,0) - (-4,\,0,\,16).
Calculando componente a componente:
2 v_{3} - 4 v_{2} = (10-(-4),\; -2-0,\; 0-16).
Portanto
2 v_{3} - 4 v_{2} = (14,\; -2,\; -16).

Passo 6

Checagem rápida (mental): as contas são simples somas/subtrações inteiras; 10-(-4)=14, -2-0=-2, 0-16=-16. Está tudo consistente.

Resposta

(14,-2,-16)

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