Represente geometricamente e determine o valor da área delimitada entre as curvas e compreendida entre elas, utilizando integrais duplas:
(a) x=y^3, x+y=2, y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente representar geometricamente e calcular a área delimitada entre as curvas x = y^3, x + y = 2 e y = 0 usando integrais duplas. Basicamente, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano, encontrar os pontos onde elas se encontram e, depois, montar e resolver a integral dupla para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas:
  1. x = y^3: Essa é uma parábola invertida, onde para cada valor de y, temos um valor correspondente de x.
  2. x + y = 2: Essa é uma reta que intercepta o eixo x em x = 2 e o eixo y em y = 2.
  3. y = 0: Essa é simplesmente o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa área:
  • Interseção entre x = y^3 e y = 0:
    Substituindo y = 0 em x = y^3, temos x = 0. Então, um ponto de interseção é (0, 0).
  • Interseção entre x = y^3 e x + y = 2:
    Substitua x = y^3 na equação x + y = 2:
    y^3 + y = 2 implies y^3 + y - 2 = 0
    Testando alguns valores, vemos que y = 1 satisfaz a equação:
    1^3 + 1 - 2 = 0
    Então, substituindo y = 1 em x = y^3, temos x = 1. Outro ponto de interseção é (1, 1).
  • Interseção entre x + y = 2 e y = 0:
    Substituindo y = 0 em x + y = 2, temos x = 2. Então, o terceiro ponto de interseção é (2, 0).

Passo 4

Com os pontos de interseção, sabemos que a área está entre y = 0 e y = 1, pois além de y = 1, a curva x = y^3 fica à direita da reta x + y = 2. Então, vamos configurar a integral dupla.
Primeiro, resolvemos a integral em x para cada y fixo:
integralx = y^3^x = 2 - y dx
Depois, integramos em y de 0 a 1:
integraly = 0^y = 1 ( integralx = y^3^x = 2 - y dx ) dy

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integralx = y^3^x = 2 - y dx = (2 - y) - y^3
Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 (2 - y - y^3) dy

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
integral0^1 (2 - y - y^3) dy = integral0^1 2 , dy - integral0^1 y , dy - integral0^1 y^3 , dy
Calculando cada parte:
  1. integral0^1 2 , dy = 2y |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
  2. integral0^1 y , dy = y^22 |0^1 = 12 - 0 = 12
  3. integral0^1 y^3 , dy = y^44 |0^1 = 14 - 0 = 14
Agora, somando tudo:
2 - 12 - 14 = 2 - 0,75 = 1,25

Resposta

A área delimitada entre as curvas x = y^3, x + y = 2 e y = 0 é 1,25 unidades quadradas.

Exercícios relacionados