Represente geometricamente e determine o valor da área delimitada entre as curvas e compreendida entre elas, utilizando integrais duplas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente representar geometricamente e calcular a área delimitada entre as curvas , e usando integrais duplas. Basicamente, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano, encontrar os pontos onde elas se encontram e, depois, montar e resolver a integral dupla para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas:
: Essa é uma parábola invertida, onde para cada valor de , temos um valor correspondente de .
: Essa é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .
: Essa é simplesmente o eixo .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa área:
Interseção entre e :
Substituindo em , temos . Então, um ponto de interseção é .
Interseção entre e :
Substitua na equação :
Testando alguns valores, vemos que satisfaz a equação:
Então, substituindo em , temos . Outro ponto de interseção é .
Interseção entre e :
Substituindo em , temos . Então, o terceiro ponto de interseção é .
Passo 4
Com os pontos de interseção, sabemos que a área está entre e , pois além de , a curva fica à direita da reta . Então, vamos configurar a integral dupla.
Primeiro, resolvemos a integral em para cada fixo:
Depois, integramos em de 0 a 1:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada parte:
integral0^1 y , dy = y^22 |0^1 = 12 - 0 = 12
integral0^1 y^3 , dy = y^44 |0^1 = 14 - 0 = 14
Agora, somando tudo:
2 - 12 - 14 = 2 - 0,75 = 1,25
Resposta
A área delimitada entre as curvas x = y^3, x + y = 2 e y = 0 é 1,25 unidades quadradas.