Resolver as equações diferenciais em potência de e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada utilizando séries de potências em torno de e determinar o raio de convergência da solução encontrada. A equação diferencial fornecida é:
Para resolver essa equação, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :
Passo 3
Substituímos , e na equação diferencial original:
Passo 4
Simplificamos cada termo:
Para o primeiro termo, fazemos um índice de substituição :
Para o segundo termo, multiplicamos pela série e ajustamos o índice para :
Para o terceiro termo, multiplicamos pela série e ajustamos o índice para :
Agora, a equação fica:
Passo 5
Para combinar as séries, ajustamos os índices para que todas as somas comecem de :
Observamos que para , não está definido, então os termos correspondentes serão zero.
Passo 6
Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para todo :
Isso nos dá a seguinte relação de recorrência para os coeficientes :
Passo 7
Determinar os coeficientes iniciais é essencial. Assumimos e como constantes arbitrárias, geralmente denotadas por e :
Usando a relação de recorrência, podemos calcular etc., em termos de e .
Passo 8
Para determinar o raio de convergência da série de potências, usamos o critério do limite:
No entanto, analisando a relação de recorrência, percebemos que os coeficientes estão relacionados de forma que a série converge para todo , ou seja, o raio de convergência .
Resposta
A solução geral da equação diferencial y = C1 (1 + x^22 + x^48 + dots ) + C2 (x + x^33 + x^512 + dots ) pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
O raio de convergência da série encontrada é infinito, indicando que a solução é válida para todo o domínio real de .