Resolver as equações diferenciais em potência de x e determine seu raio de convergência.
y^prime prime-x y^prime+x^2 y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada utilizando séries de potências em torno de y'' - x y' + x^2 y = 0 e determinar o raio de convergência da solução encontrada. A equação diferencial fornecida é:
y = sumn=0^infty an x^n
Para resolver essa equação, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y' = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 3

Substituímos sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - x sumn=1^infty n an x^n-1 + x^2 sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial original:

Passo 4

Simplificamos cada termo:
Para o primeiro termo, fazemos um índice de substituição summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m :
summ=1^infty m am x^m
Para o segundo termo, multiplicamos summ=2^infty am-2 x^m pela série e ajustamos o índice para summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m - summ=1^infty m am x^m + summ=2^infty am-2 x^m = 0 :
Para o terceiro termo, multiplicamos pela série e ajustamos o índice para :
Agora, a equação fica:

Passo 5

Para combinar as séries, ajustamos os índices para que todas as somas comecem de summ=0^infty [ (m+2)(m+1) am+2 - m am + am-2 ] x^m = 0 :
Observamos que para , não está definido, então os termos correspondentes serão zero.

Passo 6

Igualamos os coeficientes de cada potência de (m+2)(m+1) am+2 - m am + am-2 = 0 a zero:
Para todo am+2 = m am - am-2(m+2)(m+1) :
Isso nos dá a seguinte relação de recorrência para os coeficientes :

Passo 7

Determinar os coeficientes iniciais é essencial. Assumimos a0 = C1, a1 = C2 e como constantes arbitrárias, geralmente denotadas por e :
Usando a relação de recorrência, podemos calcular etc., em termos de e .

Passo 8

Para determinar o raio de convergência da série de potências, usamos o critério do limite:
R = limn to infty | anan+1 |
No entanto, analisando a relação de recorrência, percebemos que os coeficientes estão relacionados de forma que a série converge para todo , ou seja, o raio de convergência .

Resposta

A solução geral da equação diferencial y = C1 (1 + x^22 + x^48 + dots ) + C2 (x + x^33 + x^512 + dots ) pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
O raio de convergência da série encontrada é infinito, indicando que a solução é válida para todo o domínio real de .

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