Represente geometricamente e determine o valor da área delimitada entre as curvas e compreendida entre elas, utilizando integrais duplas:
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Passo 1
Temos as curvas
,
e
. O objetivo é representar geometricamente a região limitada por elas e calcular sua área usando integrais duplas. Vamos precisar de geometria analítica para entender a região e de cálculo de integrais duplas para obter a área.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção: substituindo
em
, temos
, o que gera
ou
. Como
pela reta
, consideramos
, com
. A parábola cruza
em
e a reta cruza
em
. Logo,
varia de 0 a 1.
Passo 3
Para cada
, a fronteira esquerda é a parábola
e a direita é a reta
. Assim, a área pode ser escrita como integral dupla em ordem
:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
:
Em seguida, a integral em
:
Fazendo a integração, obtemos
Resposta
A área da região é
.