Represente geometricamente e determine o valor da área delimitada entre as curvas e compreendida entre elas, utilizando integrais duplas:
© x=y^2, y=2-x, y=0

Passo 1

Temos as curvas x=y^2, y=2-x e y=0. O objetivo é representar geometricamente a região limitada por elas e calcular sua área usando integrais duplas. Vamos precisar de geometria analítica para entender a região e de cálculo de integrais duplas para obter a área.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção: substituindo x=y^2 em y=2-x, temos y^2+y-2=0, o que gera y=-2 ou y=1. Como y>=0 pela reta y=0, consideramos y=1, com x=1. A parábola cruza y=0 em x=0 e a reta cruza y=0 em x=2. Logo, y varia de 0 a 1.

Passo 3

Para cada yin[0,1], a fronteira esquerda é a parábola x=y^2 e a direita é a reta x=2-y. Assim, a área pode ser escrita como integral dupla em ordem dx,dy:
A = integral0^1 integraly^2^2-y dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integraly^2^2-y dx = (2-y)-y^2
Em seguida, a integral em y:
A = integral0^1 l(2 - y - y^2r) dy
Fazendo a integração, obtemos
A = l[2y - tfracy^22 - tfracy^33r]0^1 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac76

Resposta

A área da região é tfrac76.

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