Use o método de Frobenius para resolver as equações diferenciais em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. O enunciado nos pede para resolver a equação em torno de
. O método de Frobenius é utilizado para encontrar soluções de equações diferenciais que têm um ponto singular, como é o caso aqui. Para isso, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão para aplicar o método de Frobenius. A equação dada é:
Podemos reescrever isso dividindo todos os termos por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação indicial, que nos ajuda a determinar o valor de
na solução da forma
. Para isso, substituímos
na equação diferencial e consideramos os menores poderes de
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para encontrar a equação indicial, consideramos o menor poder de
, que é
:
Passo 4
Resolvendo a equação indicial
, encontramos:
Esses valores de
nos dão os possíveis termos dominantes na solução da equação diferencial.
Passo 5
Escolhemos
para iniciar a série de potências. A solução assume a forma:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Para simplificar, ajustamos os índices para que todas as séries comecem no mesmo expoente de
:
Isso leva à relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Começamos com
e
como constantes arbitrárias (já que temos uma solução geral com dois parâmetros):
Continuando esse processo, podemos construir a série completa para a solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.