Use o método de Frobenius para resolver as equações diferenciais em torno de x=0.
x y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. O enunciado nos pede para resolver a equação em torno de . O método de Frobenius é utilizado para encontrar soluções de equações diferenciais que têm um ponto singular, como é o caso aqui. Para isso, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão para aplicar o método de Frobenius. A equação dada é:
x y'' - x y' + y = 0
Podemos reescrever isso dividindo todos os termos por y'' - y' + yx = 0 :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação indicial, que nos ajuda a determinar o valor de y' = r x^r-1 na solução da forma y'' = r (r-1) x^r-2 . Para isso, substituímos x [r (r-1) x^r-2] - x [r x^r-1] + x^r = 0 na equação diferencial e consideramos os menores poderes de r (r-1) x^r-1 - r x^r + x^r = 0 .
Calculando as derivadas:
r (r-1) = 0
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para encontrar a equação indicial, consideramos o menor poder de , que é :

Passo 4

Resolvendo a equação indicial r = 0 ou r = 1 , encontramos:
Esses valores de nos dão os possíveis termos dominantes na solução da equação diferencial.

Passo 5

Escolhemos y = sumn=0^infty an x^n para iniciar a série de potências. A solução assume a forma:
y'' - y' + yx = 0
Substituindo y' = sumn=1^infty n an x^n-1 , y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 e sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n-1 = 0 na equação diferencial:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + sumn=0^infty an x^n = 0
Calculamos as derivadas:
(n+2)(n+1) an+2 - (n+1) an+1 + an = 0
an+2 = (n+1) an+1 - an(n+2)(n+1)
Substituindo na equação:
Para simplificar, ajustamos os índices para que todas as séries comecem no mesmo expoente de :
Isso leva à relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 6

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes a2 = (1) a1 - a02 cdot 1 = a1 - a02 . Começamos com a3 = (2) a2 - a13 cdot 2 = 2 cdot a1 - a02 - a16 = a1 - a0 - a16 = -a06 e E assim por diante como constantes arbitrárias (já que temos uma solução geral com dois parâmetros):
Continuando esse processo, podemos construir a série completa para a solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = a0 ( 1 - x^22 + x^36 - dots ) + a1 ( x - x^22 + dots )
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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