Represente geometricamente e determine o valor da área delimitada entre as curvas e compreendida entre elas, utilizando integrais duplas:
(e) y=2 x, y=x, y=2x

Passo 1

O enunciado pede que a gente represente geometricamente e calcule a área da região delimitada pelas curvas y=2x, y=x e y=2/x, usando integrais duplas. Isso envolve identificar esse domínio no plano, escolher um sistema de coordenadas adequado e montar a integral para a área.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção dessas curvas. Igualando y=x e y=2/x temos x^2=2, ou seja o ponto (√2,√2). Igualando y=2x e y=2/x obtemos x^2=1, dando o ponto (1,2). As retas y=x e y=2x se cruzam na origem (0,0). Essas três interseções fecham a região em um “triângulo curvo”.

Passo 3

Observando o formato, notamos que a região é um setor entre as retas y=x e y=2x, limitado pela hipérbole y=2/x. Em coordenadas polares, as retas viram θ constantes: θ₁=π/4 para y=x e θ₂=arctan2 para y=2x, e a hipérbole satisfaz r sinθ = 2/(r cosθ). Resolvendo,
r^2 = 4sin2θ

Passo 4

A área de um domínio em coordenadas polares é dada por
A = integral duplaR dA = integralθ₁^θ₂integral0^r(θ) r,dr,dθ = 12 integralθ₁^θ₂ (r(θ))^2 ,dθ

Passo 5

Substituindo r^2=4/\sin2θ,
A = 12 integralpi/4^arctan2 4sin2θ ,dθ = 2 integralpi/4^arctan2 csc2θ ,dθ

Passo 6

Para calcular ∫csc2θ dθ, fazemos u=2θ, du=2 dθ, levando a ∫csc2θ dθ = -\tfrac12 ln|csc2θ+cot2θ|. Assim,
A = 2 gl[-tfrac12ln|csc2θ+cot2θ|gr]pi/4^arctan2 = -lnl|csc2θ+cot2θr|pi/4^arctan2

Passo 7

Sabendo que csc2θ+cot2θ = cotθ, avaliamos em θ=π/4 e θ=arctan2: cot(π/4)=1 e cot(arctan2)=1/2. Logo,
A = ln11/2 = ln2

Resposta

ln2

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