Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right)
z+\bar{z}=2 \operatorname{Re}(z)

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar a identidade
z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z)
para um número complexo arbitrário z. Informações dadas (relevantes aqui): z\in\mathbb{C}. A verificação deve ser válida para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Definição básica e escolha conveniente de representação. Qualquer número complexo z pode ser escrito na forma cartesiana
z = x + i y,
onde x e y são números reais ( x,y\in\mathbb{R}) e i é a unidade imaginária com i^{2}=-1. Nesta representação, x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z.

Passo 3

Definição do conjugado. O conjugado de z, denotado por \bar{z}, é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Assim, se z=x+iy então
\bar{z}=x-iy.
Intuição rápida: geometricamente \bar{z} é o reflexo de z em relação ao eixo real.

Passo 4

Definição da parte real. A parte real de z é definida por
\operatorname{Re}(z)=x.
(Mais adiante veremos que essa definição é consistente com a fórmula \operatorname{Re}(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}.)

Passo 5

Calculemos z+\bar{z} usando as expressões acima. Substituindo z=x+iy e \bar{z}=x-iy temos
z+\bar{z}=(x+iy)+(x-iy).
Agrupando termos semelhantes (partes reais com partes reais, partes imaginárias com partes imaginárias),
z+\bar{z}=(x+x)+(iy-iy)=2x+0\cdot i.
Como 0\cdot i=0, segue que
z+\bar{z}=2x.

Passo 6

Relacionando com a definição da parte real: como \operatorname{Re}(z)=x, a igualdade acima pode ser reescrita como
z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z).
Isso conclui a verificação algébrica da identidade pedida.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (opcional, mas ajuda a entender). Tome z=3+4i. Então \bar{z}=3-4i e
z+\bar{z}=(3+4i)+(3-4i)=6.
A parte real é \operatorname{Re}(z)=3, e 2\operatorname{Re}(z)=2\cdot 3=6, confirmando a identidade no exemplo.

Resposta

z+\bar{z}=2\operatorname{Re}(z)

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