Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo:
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar a identidade
para um número complexo arbitrário
. Informações dadas (relevantes aqui):
. A verificação deve ser válida para todo
.
Passo 2
Definição básica e escolha conveniente de representação. Qualquer número complexo
pode ser escrito na forma cartesiana
onde
e
são números reais (
) e
é a unidade imaginária com
. Nesta representação,
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
.
Passo 3
Definição do conjugado. O conjugado de
, denotado por
, é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Assim, se
então
Intuição rápida: geometricamente
é o reflexo de
em relação ao eixo real.
Passo 4
Definição da parte real. A parte real de
é definida por
(Mais adiante veremos que essa definição é consistente com a fórmula
.)
Passo 5
Calculemos
usando as expressões acima. Substituindo
e
temos
Agrupando termos semelhantes (partes reais com partes reais, partes imaginárias com partes imaginárias),
Como
, segue que
Passo 6
Relacionando com a definição da parte real: como
, a igualdade acima pode ser reescrita como
Isso conclui a verificação algébrica da identidade pedida.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (opcional, mas ajuda a entender). Tome
. Então
e
A parte real é
, e
, confirmando a identidade no exemplo.