Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|=1}
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano de Argand–Gauss o conjunto de todos os números complexos z tais que
|\Re(z)| + |\Im(z)| = 1.
Aqui vamos usar a identificação usual
z = x + \mathrm{i}y,\quad x = \Re(z),\;y=\Im(z),
de modo que a condição fica em termos de x e y.
Passo 2
Traduzimos a condição para coordenadas reais:
|\Re(z)| + |\Im(z)| = |x| + |y| = 1.
Geometricamente, a equação |x|+|y|=1 define a “bola” unitária na norma L^1 em \mathbb{R}^2, mas como é igualdade, descreve apenas o contorno dessa bola.
Passo 3
Para achar os vértices desse contorno, vemos que quando y=0 a condição vira |x|=1, logo temos os pontos
(1,0)\quad\text{e}\quad(-1,0).
Quando x=0 a condição vira |y|=1, dando
(0,1)\quad\text{e}\quad(0,-1).
Portanto os quatro vértices do contorno são exatamente
(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1).
Passo 4
Entre esses vértices, cada lado é um segmento de reta. Por exemplo, no primeiro quadrante x\ge0,\,y\ge0 a condição x+y=1 define o segmento de reta que une (1,0) a (0,1). Analogamente, nos outros quadrantes surgem as retas
\begin{cases} x - y = 1,& x\ge0,\,y\le0,\\\\ -\,x + y = 1,& x\le0,\,y\ge0,\\\\ -\,x - y = 1,& x\le0,\,y\le0. \end{cases}
Esses quatro segmentos fecham um losango (ou “diamante”) cujos vértices são os pontos acima.
Resposta
O conjunto \{z\in\mathbb{C}:|\Re(z)|+|\Im(z)|=1\} é exatamente o contorno do losango com vértices em