Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|z+i|+|z-i|=2}

Passo 1

O enunciado pede representar geometricamente no plano de Argand-Gauss o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z+i| + |z-i| = 2\}.
Isto lembra a definição de elipse: é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante.

Passo 2

Identificamos os dois focos:
F_1 = -i \quad\longleftrightarrow\quad (0,-1), \quad F_2 = i \quad\longleftrightarrow\quad (0,1).
A soma constante vale 2, então 2a = 2 e portanto a = 1. A distância entre os focos é
|F_1F_2| = |(-i) - i| = 2,
ou seja, 2c = 2 e c = 1.

Passo 3

Para uma elipse genuína precisamos a>c, mas aqui a=c=1. Isso faz a “elipse” degenerar-se no segmento de reta que une os focos. Logo, todo ponto cuja soma de distâncias a F_1 e F_2 seja exatamente o mínimo (que é 2) pertence ao segmento entre eles.

Resposta

O conjunto é o segmento de reta no eixo imaginário que vai de -i a i, isto é,
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(z)=0,\;-1\le \Im(z)\le 1\}.

Exercícios relacionados