Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \frac{z-1}{z+1}\right. é imaginário puro }
\left{z \in \mathbb{C} ; \frac{z-1}{z+1}\right. é imaginário puro }
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos complexos
tais que
é imaginário puro. O conteúdo é encontrar a condição real
e traduzi-la em curva no plano de Argand–Gauss.
Passo 2
Escrevemos
com
. Então
Para extrair a parte real, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
:
Passo 3
Calculamos
Dessa forma
Passo 4
Para que esse quociente seja imaginário puro, precisamos de
Além disso, o denominador não pode anular, logo
, o que equivale a
.
Resposta
O lugar geométrico é o círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo o ponto
. Em símbolos: