Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \frac{z-1}{z+1}\right. é imaginário puro }

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos complexos z tais que
\frac{z-1}{z+1}
é imaginário puro. O conteúdo é encontrar a condição real \Re\bigl((z-1)/(z+1)\bigr)=0 e traduzi-la em curva no plano de Argand–Gauss.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Então
\frac{z-1}{z+1}=\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}.
Para extrair a parte real, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de (x+1)+iy:

Passo 3

Calculamos
\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy} =\frac{\bigl((x-1)+iy\bigr)\bigl((x+1)-iy\bigr)}{(x+1)^2+y^2} =\frac{x^2+y^2-1 + 2iy}{(x+1)^2+y^2}.
Dessa forma
\Re\Bigl(\frac{z-1}{z+1}\Bigr) =\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}.

Passo 4

Para que esse quociente seja imaginário puro, precisamos de
\Re\Bigl(\frac{z-1}{z+1}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2-1=0.
Além disso, o denominador não pode anular, logo (x+1)^2+y^2\neq0, o que equivale a z\neq -1.

Resposta

O lugar geométrico é o círculo de raio 1 centrado na origem, excluindo o ponto -1. Em símbolos:
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}\setminus\{-1\}.

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