Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=0\right}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z\in\mathbb{C} tais que
\Re\!\biggl(\frac{z-1}{z+1}\biggr)=0.
O conteúdo aqui é separar parte real e imaginária de uma fração complexa. Para isso, vamos escrever z=x+iy (com x,y\in\mathbb{R}) e multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 2

Seja z=x+iy. Então
\frac{z-1}{z+1} =\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy} \cdot\frac{(x+1)-iy}{(x+1)-iy} =\frac{(x-1)(x+1)+y^2 \;+\; i\bigl(y(x+1)-y(x-1)\bigr)}{(x+1)^2+y^2}.
No numerador temos a parte real
(x-1)(x+1)+y^2 = x^2-1+y^2
e a parte imaginária
y(x+1)-y(x-1)=2y.
Assim
\Re\!\biggl(\frac{z-1}{z+1}\biggr) =\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}.
Impor \Re((z-1)/(z+1))=0 equivale a
x^2+y^2-1=0.

Passo 3

A equação x^2+y^2=1 descreve a circunferência de raio 1 centrada na origem. Devemos ainda excluir os pontos que anulam o denominador, i.e.\ (x+1)^2+y^2=0, que ocorre só em z=-1. Logo, o conjunto solução é a circunferência de raio 1 centrada na origem, sem o ponto z=-1.

Resposta

O lugar geométrico é a circunferência
x^2+y^2=1
no plano de Argand-Gauss, excluindo o ponto z=-1.

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