Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=0\right}
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=0\right}
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que
O conteúdo aqui é separar parte real e imaginária de uma fração complexa. Para isso, vamos escrever
(com
) e multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
Passo 2
Seja
. Então
No numerador temos a parte real
e a parte imaginária
Assim
Impor
equivale a
Passo 3
A equação
descreve a circunferência de raio
centrada na origem. Devemos ainda excluir os pontos que anulam o denominador, i.e.\
, que ocorre só em
. Logo, o conjunto solução é a circunferência de raio
centrada na origem, sem o ponto
.
Resposta
O lugar geométrico é a circunferência
no plano de Argand-Gauss, excluindo o ponto
.