Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=0\right}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano de Argand–Gauss o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im\!\bigl(\tfrac{z-1}{z+1}\bigr)=0\}.
O conteúdo é determinar geometricamente o lugar geométrico dos z tais que o quociente \frac{z-1}{z+1} seja real. Para isso, usaremos a escrita z=x+iy e faremos a parte imaginária do quociente igual a zero.

Passo 2

Seja z=x+iy. Então
\frac{z-1}{z+1} =\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy} =\frac{\bigl((x-1)+iy\bigr)\bigl((x+1)-iy\bigr)}{\bigl((x+1)+iy\bigr)\bigl((x+1)-iy\bigr)}.
No numerador temos
((x-1)+iy)((x+1)-iy) =(x^2-1+y^2)+i\bigl(y(x+1)-y(x-1)\bigr) =(x^2+y^2-1)+2i\,y
e no denominador
((x+1)+iy)((x+1)-iy)=(x+1)^2+y^2.

Passo 3

Logo
\frac{z-1}{z+1} =\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2} \;+\;i\,\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}.
A parte imaginária é
\Im\!\bigl(\tfrac{z-1}{z+1}\bigr) =\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}.
Para que isso seja zero, é preciso
2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 4

Portanto o locus é dado por \Im(z)=0, ou seja, o eixo real, lembrando que z=-1 está excluído pois ali o denominador z+1 se anula. Geometricamente, é a reta horizontal real sem o ponto -1.

Resposta

O conjunto é o eixo real \Im(z)=0, exceto o ponto z=-1.

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