Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}\left(\frac{z+1}{i+1}\right)>0\right}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica do conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re\bigl(\tfrac{z+1}{i+1}\bigr)>0\}
no plano de Argand-Gauss. Vamos usar manipulação de números complexos (multiplicação por conjugado) para reescrever essa condição em função de x=\Re(z) e y=\Im(z) e, em seguida, identificar o semiplano resultante.

Passo 2

Primeiro simplificamos
\frac{z+1}{\,i+1\,}
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de i+1, que é 1-i. Assim,
\frac{z+1}{1+i} =\frac{(z+1)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\frac{(z+1)(1-i)}{1^2+1^2} =\frac{(z+1)(1-i)}{2}.

Passo 3

Escrevendo z=x+iy, temos z+1=(x+1)+iy. Então
(z+1)(1-i) =(x+1+iy)(1-i) =(x+1+y)+i\bigl(y-(x+1)\bigr).
Logo
\Re\bigl((z+1)(1-i)\bigr)=x+y+1.
Dividindo por 2 (que é real e positivo) não altera o sinal da parte real, portanto
\Re\Bigl(\tfrac{z+1}{1+i}\Bigr) =\tfrac{x+y+1}{2}.

Passo 4

A condição do enunciado é
\Re\Bigl(\tfrac{z+1}{i+1}\Bigr)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{x+y+1}{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y+1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y>-1.
Isto define um semiplano aberto no plano (x,y).

Resposta

O conjunto é o semiplano aberto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y>-1\},
ou seja, todos os pontos do plano que estão estritamente acima da reta de equação x+y=-1.

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