Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)>0\right}

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano de Argand–Gauss o conjunto \{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im(z^{2})>0\}.
Vamos escrever z=x+iy e usar a fórmula de quadrado de número complexo para extrair a parte imaginária.

Passo 2

Se z=x+iy, então
z^{2} = (x+iy)^{2} = x^{2}-y^{2} + 2\,i\,x\,y.
Dessa forma, a parte imaginária de z^{2} é
\Im(z^{2}) = 2\,x\,y.

Passo 3

A condição \Im(z^{2})>0 vira
2\,x\,y > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,y > 0.
Isso significa que x e y têm o mesmo sinal: ou ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 4

Geometricamente, x\,y>0 é o interior do primeiro quadrante (onde x>0 e y>0) unido ao interior do terceiro quadrante (onde x<0 e y<0), excluindo-se os eixos.

Resposta

O conjunto \{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im(z^{2})>0\} é a união dos dois quadrantes abertos:
– primeiro quadrante x>0,y>0,
– terceiro quadrante x<0,y<0.

Exercícios relacionados