Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=0\right}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos z\in\mathbb{C} tais que a parte imaginária de z^2 é zero. O conteúdo é geometria no plano complexo e vamos usar a forma cartesiana z=x+iy.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy.
Dessa forma, a parte imaginária de z^2 é \Im(z^2)=2xy.

Passo 3

Impondo \Im(z^2)=0, chega-se a
2xy = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad y=0.

Passo 4

As condições x=0 e y=0 representam, no plano de Argand-Gauss, respectivamente o eixo imaginário puro e o eixo real puro.

Resposta

O conjunto \{z\in\mathbb{C};\Im(z^2)=0\} é a união do eixo real com o eixo imaginário no plano complexo.

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