Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \geq 1\right}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica, no plano de Argand-Gauss, do conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(z^2)\ge1\}.
O conteúdo é geometria de números complexos, e vamos precisar escrever z como x+iy e traduzir a condição em desigualdade em x e y.

Passo 2

Seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Então
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i\,(2xy).
Portanto a parte real de z^2 é
\Re(z^2)=x^2 - y^2.

Passo 3

A condição \Re(z^2)\ge1 torna-se
x^2 - y^2 \ge 1.
Esse é o conjunto de pontos (x,y) do plano que satisfazem essa desigualdade.

Passo 4

A curva de fronteira x^2 - y^2 =1 é uma hipérbole centrada na origem, com ramos abertos para a direita e para a esquerda e assimptotas y=\pm x. A desigualdade x^2-y^2\ge1 seleciona os pontos que estão fora desses ramos.

Passo 5

Geometricamente, o conjunto pedido é a união das duas regiões exteriores aos ramos da hipérbole x^2 - y^2 =1. Em outras palavras, são todos os pontos cuja abscissa satisfaz
x \ge \sqrt{1+y^2} \quad\text{ou}\quad x \le -\sqrt{1+y^2}.

Resposta

O conjunto é formado pelos pontos do plano que estão “para fora” da hipérbole de equação
x^2 - y^2 = 1,
isto é, as duas regiões desconexas definidas por x^2 - y^2 \ge 1.

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