Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;-\pi<\arg (z)<\pi}

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente no plano de Argand–Gauss o conjunto
{\,z\in\mathbb{C}\mid -\pi<\arg(z)<\pi\}.
O conteúdo envolvido é a noção de argumento de um número complexo e a definição da sua “ramificação principal” (branch cut).

Passo 2

Lembrando que, para z=re^{\mathrm{i}\theta} com r>0, definimos \arg(z)=\theta. O enunciado exige que
-\pi<\theta<\pi.
Isto significa que estamos tomando a faixa de ângulos estritamente maior que -\pi e estritamente menor que \pi.

Passo 3

Os valores extremos \theta=-\pi e \theta=\pi correspondem ao semieixo real negativo: todo ponto de coordenadas (x,0) com x<0 tem \arg(z)=\pi (pela “cima”) ou \arg(z)=-\pi (pela “baixo”).
Como queremos -\pi<\arg(z)<\pi, esses pontos do eixo real negativo ficam excluídos da região. Além disso, z=0 não tem argumento bem definido, então também não está incluído.

Passo 4

Logo, geometricamente, o conjunto é todo o plano complexo com uma fenda (corte) ao longo do semieixo real negativo, sem incluir esse semieixo.

Resposta

O conjunto corresponde ao plano complexo com o semieixo real negativo \{\,x\le0,\;y=0\} retirado, isto é, uma “fatia de pizza” de 360^\circ menos uma abertura no ângulo \pi (ou -\pi), de modo que
\{\,z\in\mathbb{C}\mid -\pi<\arg(z)<\pi\} =\mathbb{C}\setminus\{\,x\le0,\;y=0\}.

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