Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;-\pi<\arg (z)<\pi}
{z \in \mathbb{C} ;-\pi<\arg (z)<\pi}
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente no plano de Argand–Gauss o conjunto
O conteúdo envolvido é a noção de argumento de um número complexo e a definição da sua “ramificação principal” (branch cut).
Passo 2
Lembrando que, para
com
, definimos
. O enunciado exige que
Isto significa que estamos tomando a faixa de ângulos estritamente maior que
e estritamente menor que
.
Passo 3
Os valores extremos
e
correspondem ao semieixo real negativo: todo ponto de coordenadas
com
tem
(pela “cima”) ou
(pela “baixo”).
Como queremos , esses pontos do eixo real negativo ficam excluídos da região. Além disso,
não tem argumento bem definido, então também não está incluído.
Como queremos
Passo 4
Logo, geometricamente, o conjunto é todo o plano complexo com uma fenda (corte) ao longo do semieixo real negativo, sem incluir esse semieixo.
Resposta
O conjunto corresponde ao plano complexo com o semieixo real negativo
retirado, isto é, uma “fatia de pizza” de
menos uma abertura no ângulo
(ou
), de modo que