Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z}\right)>1\right}
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z}\right)>1\right}
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente no plano complexo o conjunto
.
Aqui vamos usar a escrita , calcular
, extrair sua parte imaginária e obter uma condição em
e
.
Aqui vamos usar a escrita
Passo 2
Seja
com
e
. Então
Dessa forma a parte imaginária é
A desigualdade
vira
Passo 3
Como
, multiplicamos ambos os lados por
sem inverter o sinal, obtendo
Agora completamos o quadrado em
:
Passo 4
A desigualdade
descreve o disco aberto de centro
e raio
.
Resposta
O conjunto
é o disco aberto de centro
(isto é,
no plano) e raio
.