Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
\left{z \in \mathbb{C} ; \operatorname{Im}\left(\frac{1}{z}\right)>1\right}

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente no plano complexo o conjunto \{z\in\mathbb{C}\mid \Im(1/z)>1\}.
Aqui vamos usar a escrita z=x+iy, calcular 1/z, extrair sua parte imaginária e obter uma condição em x e y.

Passo 2

Seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} e z\neq0. Então
\frac1z=\frac{x-iy}{x^2+y^2}.
Dessa forma a parte imaginária é
\Im\bigl(1/z\bigr)=\frac{-y}{x^2+y^2}.
A desigualdade \Im(1/z)>1 vira
\frac{-y}{x^2+y^2}>1.

Passo 3

Como x^2+y^2>0, multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2 sem inverter o sinal, obtendo
-y> x^2+y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2+y<0.
Agora completamos o quadrado em y:
x^2 + y^2 + y = x^2 + \bigl(y+\tfrac12\bigr)^2 - \tfrac14 <0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + \bigl(y+\tfrac12\bigr)^2 < \tfrac14.

Passo 4

A desigualdade
x^2 + \bigl(y+\tfrac12\bigr)^2 < \bigl(\tfrac12\bigr)^2
descreve o disco aberto de centro (0,-\tfrac12) e raio \tfrac12.

Resposta

O conjunto \{z\in\mathbb{C}\mid \Im(1/z)>1\} é o disco aberto de centro 0-\tfrac i2 (isto é, (0,-\tfrac12) no plano) e raio \tfrac12.

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