Represente geometricamente a trajetória de F em cada caso.
F(t)=\left(\operatorname{sen} t, \operatorname{sen}^{2} t, 1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
F(t) = (\sin t,\;\sin^2 t,\;1).
O conteúdo é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3. Para representar geometricamente a trajetória, vamos eliminar o parâmetro e ver que figura surge.

Passo 2

Note que a terceira componente de F é constante igual a 1. Logo toda a trajetória está contida no plano horizontal
z = 1.

Passo 3

Para encontrar a forma da curva no plano z=1, eliminamos o parâmetro entre x e y. Como
\;x = \sin t
e
\;y = \sin^2 t = (\sin t)^2,
temos
y = x^2
ou seja, na projeção no plano xy a curva é a parábola y=x^2.

Passo 4

Como \sin t varia entre -1 e 1 quando t percorre \mathbb{R}, o ponto x=\sin t percorre o intervalo [-1,1]. Assim a trajetória é o arco da parábola y=x^2 para x\in[-1,1], percorrido de ida e volta de modo periódico conforme t varia.

Resposta

A trajetória de F é o arco da parábola y = x^2 contido no plano z = 1, com x variando entre -1 e 1, percorrido periodicamente.

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