Represente geometricamente a trajetória de F em cada caso.
F(t)=(\cos t, 2 \operatorname{sen} t, 0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a representação geométrica da curva dada por
F(t) = (\cos t,\;2\sin t,\;0).
O conteúdo aqui é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 e como passar da forma paramétrica para a forma cartesiana para identificar o tipo de curva.

Passo 2

Observamos que a terceira coordenada é sempre zero, isto é, z=0. Logo, toda a curva está contida no plano xy. Basta então estudar as duas primeiras coordenadas:
x(t)=\cos t, \quad y(t)=2\sin t.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro t, usamos as identidades trigonométricas \cos^2t+\sin^2t=1. Escrevemos
\bigl(\tfrac{x}{1}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t =1.

Passo 4

A equação
\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1
é a de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 2 ao longo do eixo y e semi-eixo menor de comprimento 1 ao longo do eixo x.

Passo 5

Quanto à orientação, para t crescendo de 0 a 2\pi a curva começa em (1,0,0) e se move no sentido anti-horário no plano xy, completando uma volta.

Resposta

A trajetória de F é a elipse no plano z=0 dada por
\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1,
com semi-eixos 1 (eixo x) e 2 (eixo y), percorrida no sentido anti-horário.

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