Passe para coordenadas polares as expressões:
(x-1)^{2}+y^{2}=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: "Passe para coordenadas polares a expressão (x-1)^{2}+y^{2}=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}".
Informações dadas pelo enunciado:
(x-1)^{2}+y^{2}=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares e o significado de cada variável (para você poder aplicar isso na prova sem erro). Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{e}\quad \theta=\text{ângulo entre o raio e o eixo }x.â
As relações entre cartesianas e polares são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (logo r\ge 0) e \theta é o ângulo. Sempre que aparecer \sqrt{x^{2}+y^{2}} podemos substituir por r.

Passo 3

Agora substituímos na equação dada. Primeiro note que
(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}-2x+1+y^{2}= (x^{2}+y^{2}) - 2x + 1.
Usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (portanto x^{2}+y^{2}=r^{2}) e x=r\cos\theta, a equação fica
r^{2}-2(r\cos\theta)+1 = 1 - r.

Passo 4

Simplificamos a equação: como há um +1 dos dois lados, podemos subtrair 1 de ambos os lados, ficando
r^{2}-2r\cos\theta = -r.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
r^{2} + r - 2r\cos\theta = 0.

Passo 5

Colocamos r em evidência (isso facilita muito e é um truque comum):
r\bigl(r + 1 - 2\cos\theta\bigr) = 0.
Isto dá duas possibilidades:
  1. \;r=0. (o ponto origem)
  2. \;r + 1 - 2\cos\theta = 0, ou seja
r = 2\cos\theta - 1.

Passo 6

Precisamos lembrar da restrição física: r\ge 0. Portanto, a solução r = 2\cos\theta - 1 só é válida quando 2\cos\theta - 1 \ge 0, isto é
\cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
Em termos de \theta no intervalo padrão isso corresponde a
\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right]\quad(\text{mod }2\pi).
O caso r=0 também satisfaz a equação original (substituição direta confirma).

Resposta

r=0
r=2\cos\theta-1,\quad \cos\theta\ge\tfrac{1}{2}

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