Represente graficamente as curvas polares a seguir.
r=-3 \cos 2 \theta

Passo 1

Enunciado: representar graficamente a curva polar r=-3\cos 2\theta.
Informações dadas e o que pedimos representar:
  • A equação polar é r=-3\cos 2\theta.
  • A variável \theta varia normalmente em [0,2\pi) para desenhar uma volta completa.
  • Precisamos obter o formato da curva (onde está o(s) ramo(s), zeros, máximos/minimos, simetrias) e então esboçar (ou saber como desenhar) a curva no plano.

Passo 2

O que significa trabalhar em coordenadas polares (mini-aula):
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao polo (origem) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Se r\ge 0, o ponto está na direção \theta a distância r. Se r<0, o ponto (r,\theta) corresponde ao ponto (-r,\theta+\pi) (ou seja, mesmo módulo, direção oposta). Exemplo: (-3,0) é o mesmo que (3,\pi).
  • Para esboçar r=f(\theta) traçamos pontos para vários \theta e ligamos respeitando o sinal de r.

Passo 3

Período e simetrias da função (importante para reduzir trabalho):
  • A função \cos 2\theta tem período \pi, logo r(\theta) tem período \pi. Assim a curva se repete a cada \pi radianos; uma volta completa em \theta\in[0,2\pi) produz duas repetições idênticas.
  • Verificamos paridade: r(-\theta)=-3\cos(-2\theta)=-3\cos 2\theta=r(\theta). Logo r é par em \theta → simetria em relação ao eixo x (reflexão \theta\mapsto -\theta).
  • Também r(\pi-\theta)=-3\cos(2\pi-2\theta)=-3\cos 2\theta=r(\theta), o que indica simetrias que levam à disposição simétrica dos ramos ao redor dos eixos.

Passo 4

Zeros da função r (onde a curva passa pela origem):
  • Resolver r=0 -3\cos 2\theta=0\Rightarrow \cos 2\theta=0.
  • Solução: 2\theta=\frac{\pi}{2}+m\pi, logo \theta=\frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2}.
  • Tomando m=0,1,2,3 em [0,2\pi) obtemos \theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}. Nestes ângulos a curva atravessa a origem.

Passo 5

Máximos e mínimos radiais (extremos de r):
  • r(\theta)=-3\cos 2\theta atinge máximo quando -\cos 2\theta é 1, isto é quando \cos 2\theta=-1. Isso acontece para 2\theta=\pi+2m\pi, logo \theta=\frac{\pi}{2}+m\pi. Nessas direções r_{\max}=3.
  • Tomando \theta=\frac{\pi}{2} obtemos o ponto r=3 no ângulo \frac{\pi}{2} → ponto cartesiano (0,3). Tomando \theta=\frac{3\pi}{2} obtemos (0,-3).
  • r atinge mínimo -3 quando \cos 2\theta=1, isto é \theta=m\pi. Para \theta=0 temos r=-3, que corresponde ao ponto (3,\pi) (isto é (-3,0) na representação usual) — portanto extremos em (\pm 3,0) também aparecem.

Passo 6

Interpretação geral: tipo de curva e número de pétalas (mini-aula sobre “rosas polares”):
  • A forma r=a\cos(k\theta) é a conhecida “rosa polar”. Se k for par, o número de pétalas é 2k; se k for ímpar, o número de pétalas é k. Aqui temos a=-3 e k=2. Como k=2 é par, esperaríamos 2\cdot 2=4 pétalas.
  • O sinal negativo de a só rotaciona/translate a rosa: r=-3\cos 2\theta é equivalente a r=3\cos(2\theta+\pi), ou seja, é a mesma rosa de amplitude 3 rotacionada em \pi/2 (na prática isso alinha as pétalas com os eixos). Então teremos 4 pétalas simétricas, cada uma com comprimento máximo 3.

Passo 7

Como esboçar concretamente (tabela de pontos e interpretação):
  • Já temos zeros em \theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}. Entre pares consecutivos dessas raízes há uma pétala. Por exemplo, a pétala superior corresponde a \theta\in\big[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\big] com máximo em \theta=\frac{\pi}{2}.
  • Vamos calcular alguns pontos-chave (mostro cálculos para a pétala superior; as outras seguem por simetria):
    • \theta=\frac{\pi}{4}\Rightarrow r=0 (origem).
    • \theta=\frac{3\pi}{8}\Rightarrow 2\theta=\frac{3\pi}{4}, \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, então r=-3\cos 2\theta=-3\big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2{,}12. Esse ponto fica na direção \theta=\tfrac{3\pi}{8} a distância 2{,}12 do polo.
    • \theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow 2\theta=\pi, \cos\pi=-1, então r=-3\cos 2\theta=-3(-1)=3. Ponto no eixo y positivo: (0,3).
    • \theta=\frac{5\pi}{8}\Rightarrow 2\theta=\frac{5\pi}{4}, \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, então r=\tfrac{3\sqrt{2}}{2} novamente, retornando ao polo em \theta=\frac{3\pi}{4}.
  • Pela simetria, as quatro pétalas têm esses mesmos valores rotacionados: pétalas com máximos em \theta=\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},0 (interpretação com ajuste de sinal), correspondendo aos pontos extremos cartesianos (0,3),(-3,0),(0,-3),(3,0).

Passo 8

Traçado prático passo a passo (o que você desenha no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque os pontos (3,0), (-3,0), (0,3), (0,-3). Use escala uniforme (cada unidade = 1).
  2. Marque os ângulos onde r=0: \theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4} — nesses ângulos a curva passa pelo polo. Desenhe linhas-guia se quiser.
  3. Para cada intervalo entre zeros (por exemplo [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]) trace uma pétala que sai do polo, cresce até o ponto máximo (aqui (0,3)) e volta ao polo. Use os pontos calculados para controlar a curvatura.
  4. Repita para as outras três pétalas por simetria. O resultado será uma “rosa” com quatro pétalas alinhadas com os eixos.
  5. Opcional: marque a orientação da curva (para \theta=0 a curva começa em ( -3,0) — porque r(0)=-3 — e então se move em direção ao polo alcançando r=0 em \theta=\frac{\pi}{4}, depois desenha a pétala superior, etc.).

Passo 9

Resumo geométrico final e dicas para prova:
  • A curva é uma rosa de 4 pétalas (porque k=2 e 2k=4), cada pétala tem comprimento máximo |r|=3. As pétalas estão centradas ao longo dos eixos coordenados (extremos em (\pm 3,0) e (0,\pm 3)).
  • Dica prática: para curvas polares do tipo r=a\cos(k\theta) ou r=a\sin(k\theta), calcule zeros, extremos e simetrias; plote alguns valores intermediários para controlar a forma da pétala; lembre-se do significado de r<0.

Resposta

Uma rosa de 4 pétalas com comprimento máximo 3, com pétalas ao longo dos eixos, tendo pontos extremos em (3,0), (-3,0), (0,3) e (0,-3).

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