Represente graficamente as curvas polares a seguir.
Passo 1
Enunciado: representar graficamente a curva polar
.
Informações dadas e o que pedimos representar:
Informações dadas e o que pedimos representar:
- A equação polar é
. - A variável
varia normalmente em para desenhar uma volta completa. - Precisamos obter o formato da curva (onde está o(s) ramo(s), zeros, máximos/minimos, simetrias) e então esboçar (ou saber como desenhar) a curva no plano.
Passo 2
O que significa trabalhar em coordenadas polares (mini-aula):
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, onde é a distância ao polo (origem) e é o ângulo medido a partir do eixo positivo . - Se
, o ponto está na direção a distância . Se , o ponto corresponde ao ponto (ou seja, mesmo módulo, direção oposta). Exemplo: é o mesmo que . - Para esboçar
traçamos pontos para vários e ligamos respeitando o sinal de .
Passo 3
Período e simetrias da função (importante para reduzir trabalho):
- A função
tem período , logo tem período . Assim a curva se repete a cada radianos; uma volta completa em produz duas repetições idênticas. - Verificamos paridade:
. Logo é par em → simetria em relação ao eixo (reflexão ). - Também
, o que indica simetrias que levam à disposição simétrica dos ramos ao redor dos eixos.
Passo 4
Zeros da função
(onde a curva passa pela origem):
- Resolver
dá . - Solução:
, logo . - Tomando
em obtemos . Nestes ângulos a curva atravessa a origem.
Passo 5
Máximos e mínimos radiais (extremos de
):
-
atinge máximo quando é , isto é quando . Isso acontece para , logo . Nessas direções . - Tomando
obtemos o ponto no ângulo → ponto cartesiano . Tomando obtemos . -
atinge mínimo quando , isto é . Para temos , que corresponde ao ponto (isto é na representação usual) — portanto extremos em também aparecem.
Passo 6
Interpretação geral: tipo de curva e número de pétalas (mini-aula sobre “rosas polares”):
- A forma
é a conhecida “rosa polar”. Se for par, o número de pétalas é ; se for ímpar, o número de pétalas é . Aqui temos e . Como é par, esperaríamos pétalas. - O sinal negativo de
só rotaciona/translate a rosa: é equivalente a , ou seja, é a mesma rosa de amplitude rotacionada em (na prática isso alinha as pétalas com os eixos). Então teremos 4 pétalas simétricas, cada uma com comprimento máximo .
Passo 7
Como esboçar concretamente (tabela de pontos e interpretação):
- Já temos zeros em
. Entre pares consecutivos dessas raízes há uma pétala. Por exemplo, a pétala superior corresponde a com máximo em . - Vamos calcular alguns pontos-chave (mostro cálculos para a pétala superior; as outras seguem por simetria):
-
(origem). -
, , então . Esse ponto fica na direção a distância do polo. -
, , então . Ponto no eixo positivo: . -
, , então novamente, retornando ao polo em .
-
- Pela simetria, as quatro pétalas têm esses mesmos valores rotacionados: pétalas com máximos em
(interpretação com ajuste de sinal), correspondendo aos pontos extremos cartesianos .
Passo 8
Traçado prático passo a passo (o que você desenha no papel):
- Desenhe os eixos
e e marque os pontos , , , . Use escala uniforme (cada unidade = 1). - Marque os ângulos onde
: — nesses ângulos a curva passa pelo polo. Desenhe linhas-guia se quiser. - Para cada intervalo entre zeros (por exemplo
) trace uma pétala que sai do polo, cresce até o ponto máximo (aqui ) e volta ao polo. Use os pontos calculados para controlar a curvatura. - Repita para as outras três pétalas por simetria. O resultado será uma “rosa” com quatro pétalas alinhadas com os eixos.
- Opcional: marque a orientação da curva (para
a curva começa em — porque — e então se move em direção ao polo alcançando em , depois desenha a pétala superior, etc.).
Passo 9
Resumo geométrico final e dicas para prova:
- A curva é uma rosa de 4 pétalas (porque
e ), cada pétala tem comprimento máximo . As pétalas estão centradas ao longo dos eixos coordenados (extremos em e ). - Dica prática: para curvas polares do tipo
ou , calcule zeros, extremos e simetrias; plote alguns valores intermediários para controlar a forma da pétala; lembre-se do significado de .
Resposta
Uma rosa de 4 pétalas com comprimento máximo
, com pétalas ao longo dos eixos, tendo pontos extremos em
,
,
e
.