Seja
f(x)=rrr -1 & se & x<0 0 & se & x=0 1 & se & 0
e F(x)=|x|. Mostre que F^prime(x)=f(x) se x neq 0. F é uma antiderivada de f em (-infty,+infty) ? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos duas funções:
  • f(x) = -1 & se x < 0 0 & se x = 0 1 & se 0 < x , que é uma função definida por partes:
  • , que é a função valor absoluto de x.
O exercício quer que a gente mostre que a derivada de , ou seja, , é igual a para todos os diferentes de zero. Além disso, também pergunta se é uma antiderivada de no intervalo de a .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é derivada, como derivar uma função valor absoluto e entender o conceito de antiderivada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Em outras palavras, diz como a função está mudando naquele ponto.
Nossa função F(x) = -x & se x < 0 x & se x >= 0 pode ser reescrita de forma mais detalhada:
Isso porque o valor absoluto de um número negativo é o seu oposto, e positivo fica igual.

Passo 3

Agora, vamos derivar F(x) = -x implies F'(x) = -1 para os valores de F(x) = x implies F'(x) = 1 diferentes de zero.
Para F'(x) = -1 & se x < 0 1 & se x > 0 :
Para :
Então, para todo , a derivada de é:
Observamos que isso coincide exatamente com a definição de dada no enunciado, exceto no ponto .

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto limx to 0^- F'(x) = -1 limx to 0^+ F'(x) = 1 . A derivada de uma função nesse ponto existe se os limites laterais da derivada forem iguais. Vamos calcular:
Como os limites laterais são diferentes ( ), a derivada de em não existe.

Passo 5

Então, resumindo o que encontramos:
  • Para , .
  • Em , não existe.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo diferente de zero. Porém, em , a derivada de não existe. Assim, não é uma antiderivada de no intervalo , já que falta a derivada no ponto .

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