e F(x)=|x|. Mostre que F^prime(x)=f(x) se x neq 0. F é uma antiderivada de f em (-infty,+infty) ? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos duas funções:
f(x) = -1 & se x < 0 0 & se x = 0 1 & se 0 < x , que é uma função definida por partes:
, que é a função valor absoluto de x.
O exercício quer que a gente mostre que a derivada de , ou seja, , é igual a para todos os diferentes de zero. Além disso, também pergunta se é uma antiderivada de no intervalo de a .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é derivada, como derivar uma função valor absoluto e entender o conceito de antiderivada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Em outras palavras, diz como a função está mudando naquele ponto.
Nossa função F(x) = -x & se x < 0 x & se x >= 0 pode ser reescrita de forma mais detalhada:
Isso porque o valor absoluto de um número negativo é o seu oposto, e positivo fica igual.
Passo 3
Agora, vamos derivar F(x) = -x implies F'(x) = -1 para os valores de F(x) = x implies F'(x) = 1 diferentes de zero.
Para F'(x) = -1 & se x < 0 1 & se x > 0 :
Para :
Então, para todo , a derivada de é:
Observamos que isso coincide exatamente com a definição de dada no enunciado, exceto no ponto .
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto limx to 0^- F'(x) = -1 limx to 0^+ F'(x) = 1 . A derivada de uma função nesse ponto existe se os limites laterais da derivada forem iguais. Vamos calcular:
Como os limites laterais são diferentes (), a derivada de em não existe.
Passo 5
Então, resumindo o que encontramos:
Para , .
Em , não existe.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo diferente de zero. Porém, em , a derivada de não existe. Assim, não é uma antiderivada de no intervalo , já que falta a derivada no ponto .