Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por
z=raizy-x^2+raiz2 x-y.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
z = f(x,y) = raiz,y - x^2 + raiz2x - y,
Para que essa função esteja bem definida, precisamos que o que está dentro de cada raiz seja não negativo. Logo vamos exigir simultaneamente
  1. o radicando interno não negativo:
2x - y ;>=; 0,
  1. o radicando externo não negativo:
y - x^2 + raiz2x - y;>=;0

Passo 2

Analisando a raiz interna, temos
2x - y >= 0 Long<=ftrightarrow y <= 2x
Geometricamente, isso é o semiplano abaixo (ou sobre) a reta
y = 2x

Passo 3

Agora a raiz externa exige
y - x^2 + raiz2x - y;>=;0 Long<=ftrightarrow raiz2x - y;>=;x^2 - y
Como raiz2x - y>=0, surgem dois casos:
  • Se x^2-y<=0, isto é, y >= x^2, então a desigualdade é automática (pois a raiz é >=0 e o lado direito é <=0).
  • Se x^2-y>0, ou seja y<x^2, podemos elevar ao quadrado sem alterar o sinal: (,x^2-y)^2;<=;2x - y Long<=ftrightarrow (x^2-y)^2 + y - 2x ;<=; 0
Esse último traça uma curva implícita no plano.

Passo 4

Juntando tudo, o domínio é a união de duas regiões no plano (x,y):
  1. Região A: x^2 ;<=; y ;<=; 2x, isto é, a faixa entre a parábola y=x^2 e a reta y=2x.
  2. Região B: y <= x^2, y <= 2x, (x^2-y)^2 + y - 2x <= 0, que é a faixa abaixo da parábola, mas acima da curva definida por (x^2-y)^2 + y - 2x = 0, até os pontos de encontro dessa curva com y=x^2 e y=2x em (0,0) e (2,4).
Em um esboço, desenhe:
  • A reta y=2x (linha superior),
  • A parábola y=x^2 (que controla a parte de cima da Região A e o teto de B),
  • A curva implícita (x^2-y)^2+y-2x=0 (que é o limite de baixo da Região B).
    A região válida é o interior fechado desse “faixa dupla” que vai de (0,0) até (2,4).

Resposta

O domínio de f é
l(x,y)colon y<=2x,;y>= x^2r ;cup; l(x,y)colon y<=2x,;y<= x^2,;(x^2-y)^2+y-2x<=0r,
isto é, a região no plano limitada acima por y=2x, abaixo pela curva (x^2-y)^2+y-2x=0 e pela parábola y=x^2, unindo-se nos pontos (0,0) e (2,4).

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