Vamos provar que a derivada da função
g(x)=integral0^x^2 arctg(t) d t
é igual a g^prime(x)=arctg(x^2) 2 x, usando o seguinte raciocínio:
(b) Agora perceba que g(x)=F(x^2). Use isto, o item anterior e a regra da cadeia para calcular g^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=integral0^x^2arctg(t),dt
ou seja, conteúdo de integral dependente de parâmetro e regra da cadeia. Vamos usar que, pelo item anterior, definindo
F(u)=integral0^uarctg(t),dt,
temos F'(u)=arctg(u), e então reconheceremos g como composição de F com u=x^2.

Passo 2

Observamos que
g(x)=Fl(x^2r),
onde F é exatamente aquela primitiva do item anterior. Logo, podemos aplicar a regra da cadeia a essa composição.

Passo 3

Pela regra da cadeia, se g(x)=Fl(h(x)r) então
g'(x)=F'l(h(x)r)cdot h'(x)
Aqui h(x)=x^2, então basta identificar F'(u)=arctg(u) e calcular h'(x).

Passo 4

Temos F'l(x^2r)=arctgl(x^2r) e
h'(x)=ddxl(x^2r)=2x
Portanto
g'(x)=arctgl(x^2r)cdot 2x

Resposta

g'(x)=2x,arctgl(x^2r)

Exercícios relacionados