Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
(a) x+y-1+z^2=0, z >= 0;
(b) f(x, y)=x-yraiz1-x^2-y^2;
© z=raizy-x^2+raiz2 x-y;
(d) z=ln (2 x^2+y^2-1);
(e) z^2+4=x^2+y^2, z >= 0;
(f) z=x-ysin x-sin y.

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar no plano xy o conjunto de pontos onde cada função z=f(x,y) está bem definida, ou seja, o domínio de cada uma. Vamos usar as regras básicas de domínio: para raízes precisamos do radicando ≥0, para logaritmos argumento >0, pra frações denominador ≠0 e, no caso de equações implícitas envolvendo z, isolar z e impor as restrições dadas.

Passo 2

Para a letra (a) a equação é x+y−1+z²=0 com z≥0. A gente isola z²: z²=1−x−y e, como z deve ser real não-negativo, precisa valer 1−x−y≥0. Logo o domínio é o conjunto de (x,y) com
x+y<=1
e graficamente é a região do plano abaixo da reta x+y=1, incluindo a reta.

Passo 3

Na letra (b) temos f(x,y)=(x−y)/√(1−x²−y²). O denominador não pode ser zero nem imaginário, então
1−x^2−y^2>0
isto é, x²+y²<1. Graficamente é o disco aberto de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

Para © z=√(y−x²)+√(2x−y). Cada radicando tem que ser ≥0 simultaneamente:
y−x^2>=0
e
2x−y>=0
Isso define a região onde y≥x² e y≤2x ao mesmo tempo. Resolvendo x²≤2x dá 0≤x≤2, e para cada x nesse intervalo y varia de x² até 2x.

Passo 5

Na parte (d) z=ln(2x²+y²−1). O domínio de ln exige argumento >0:
2x^2+y^2−1>0
Ou seja, fora da elipse 2x²+y²=1, sem incluir a fronteira.

Passo 6

Em (e) z²+4=x²+y² com z≥0. A gente vê que z²=x²+y²−4, então precisa x²+y²−4≥0 para z real, e toma a raiz positiva. Logo
x^2+y^2>=4
É o exterior do círculo de raio 2, incluindo a circunferência.

Passo 7

Por fim em (f) z=(x−y)/(sin x−sin y). A única restrição é o denominador diferente de zero, ou seja
sin x−sin yne0
Graficamente o domínio é todo o plano menos as curvas onde sin x=sin y (isto é, x=y+2kπ ou x=π−y+2kπ, k∈ℤ).

Resposta

(a) (x,y):x+y<=1
(b) (x,y):x^2+y^2<1
© (x,y):0<= x<=2,;x^2<= y<=2x
(d) (x,y):2x^2+y^2>1
(e) (x,y):x^2+y^2>=4
(f) (x,y):sin xnesin y.

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