Represente graficamente o domínio da função
dada por:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
;
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenhar no plano xy o conjunto de pontos onde cada função z=f(x,y) está bem definida, ou seja, o domínio de cada uma. Vamos usar as regras básicas de domínio: para raízes precisamos do radicando ≥0, para logaritmos argumento >0, pra frações denominador ≠0 e, no caso de equações implícitas envolvendo z, isolar z e impor as restrições dadas.
Passo 2
Para a letra (a) a equação é x+y−1+z²=0 com z≥0. A gente isola z²: z²=1−x−y e, como z deve ser real não-negativo, precisa valer 1−x−y≥0. Logo o domínio é o conjunto de (x,y) com
e graficamente é a região do plano abaixo da reta x+y=1, incluindo a reta.
Passo 3
Na letra (b) temos f(x,y)=(x−y)/√(1−x²−y²). O denominador não pode ser zero nem imaginário, então
isto é, x²+y²<1. Graficamente é o disco aberto de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
Para © z=√(y−x²)+√(2x−y). Cada radicando tem que ser ≥0 simultaneamente:
e
Isso define a região onde y≥x² e y≤2x ao mesmo tempo. Resolvendo x²≤2x dá 0≤x≤2, e para cada x nesse intervalo y varia de x² até 2x.
Passo 5
Na parte (d) z=ln(2x²+y²−1). O domínio de ln exige argumento >0:
Ou seja, fora da elipse 2x²+y²=1, sem incluir a fronteira.
Passo 6
Em (e) z²+4=x²+y² com z≥0. A gente vê que z²=x²+y²−4, então precisa x²+y²−4≥0 para z real, e toma a raiz positiva. Logo
É o exterior do círculo de raio 2, incluindo a circunferência.
Passo 7
Por fim em (f) z=(x−y)/(sin x−sin y). A única restrição é o denominador diferente de zero, ou seja
Graficamente o domínio é todo o plano menos as curvas onde sin x=sin y (isto é, x=y+2kπ ou x=π−y+2kπ, k∈ℤ).
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)