Represente graficamente o domínio da função f(x, y)=\sqrt{\frac{y-x^{2}}{x-2 y}}. O conjunto que representa o domínio é aberto, fechado, conexo? Justifique cada caso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Representar graficamente o domínio da função f(x,y)=\sqrt{\dfrac{y-x^{2}}{x-2y}}.
Dizer e justificar se esse conjunto (o domínio) é aberto, fechado e se é conexo.
Informações dadas pelo enunciado:
A função envolve uma raiz quadrada real, logo o quociente dentro da raiz tem de ser maior ou igual a zero.
O denominador x-2y não pode ser zero (divisão por zero proibida).
As curvas relevantes que aparecem naturalmente são a parábola y=x^{2} (numerador zero) e a reta y=\dfrac{x}{2} (denominador zero).
Passo 2
Traduzindo as condições matemáticas para o domínio:
Defina o numerador N=y-x^{2} e o denominador D=x-2y.
Para f(x,y) ser real e bem definida precisamos de:
D\neq 0 (ou seja, x-2y\neq 0, isto é, y\neq \dfrac{x}{2});
\dfrac{N}{D}\ge 0 (porque estamos dentro de uma raiz quadrada real).
A inequação \dfrac{N}{D}\ge 0 é equivalente (multiplicando ambos os lados por D^{2}>0) a
N\cdot D \ge 0,
ou seja
(y-x^{2})(x-2y)\ge 0,
com a ressalva já dita de que x-2y\neq 0.
Passo 3
Interpretação da inequação em termos das curvas:
A condição (y-x^{2})(x-2y)\ge 0 significa que os dois fatores têm o mesmo sinal (ou o numerador é zero). Geometricamente, isso identifica os pontos que estão “entre” as duas curvas y=x^{2} e y=\dfrac{x}{2}. Uma maneira compacta de escrever isso é:
\text{o domínio }D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ \middle|\\ \min\!\bigl(x^{2},\tfrac{x}{2}\bigr)\le y \le \max\!\bigl(x^{2},\tfrac{x}{2}\bigr)\\ \text{ e }\\ y\neq \tfrac{x}{2}\right\}.
Em palavras: para cada x fixa-se o intervalo fechado entre y=x^{2} e y=\dfrac{x}{2}; o domínio é a união desses intervalos (a “faixa” entre curva e reta), mas exclui a reta y=\dfrac{x}{2} inteira (porque aí o denominador é zero). Note que pontos sobre a parábola y=x^{2} são permitidos (numerador zero) desde que não coincidam com a reta (nos pontos de interseção ambas coincidem e aí o denominador é zero: esses pontos devem ser excluídos).
Passo 4
Localização das interseções e comportamento das curvas:
Calcule onde as curvas se intersectam resolvendo x^{2}=\dfrac{x}{2}. Isso dá
Para x<0 e para x>\tfrac{1}{2} temos x^{2}>\dfrac{x}{2} (a parábola está acima da reta), e para 0<x<\tfrac{1}{2} temos x^{2}<\dfrac{x}{2} (a parábola está abaixo da reta). Assim a região entre as duas curvas é um “fita” que para x em cada valor é o segmento entre as duas curvas; nos dois pontos de interseção esse segmento colapsa a um ponto, e esses dois pontos devem ser excluídos porque aí a reta (denominador) é zero.
Portanto a representação gráfica: a região entre a parábola y=x^{2} e a reta y=\dfrac{x}{2}, incluindo a parábola (exceto nos pontos de interseção (0,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})), mas excluindo a reta y=\dfrac{x}{2} por completo.
Passo 5
Por que o domínio não é aberto:
Um conjunto é aberto se, para todo ponto do conjunto, existe uma pequena bola ao redor inteira contida no conjunto. Tome um ponto qualquer sobre a parábola, por exemplo (a,a^{2}) com a\neq 0,\tfrac{1}{2} (ponto da parábola que está no domínio). Em qualquer vizinhança desse ponto há pontos com y<a^{2} (ou y>a^{2}, dependendo do lado) que ficam fora do intervalo entre as curvas; logo qualquer bola centrada nesse ponto intersecta o complemento do domínio. Assim pontos da parábola são pontos de fronteira pertencentes ao domínio, então o domínio não pode ser aberto.
Exemplo concreto: para a=1 temos o ponto (1,1) no domínio; em qualquer disco pequeno em torno de (1,1) existem pontos com y>1 tais que y>x^{2} e y>\tfrac{x}{2} (ou outro lado) que não satisfazem a desigualdade original; portanto não há bola inteira contida no domínio torno de (1,1).
Passo 6
Por que o domínio não é fechado:
Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite. Considere uma sequência de pontos do domínio que tenda a um ponto sobre a reta excluída, por exemplo
x_{n}=\tfrac{1}{n},\qquad y_{n}=\frac{x_{n}^{2}+x_{n}/2}{2} \quad (\text{ou seja, o ponto médio entre as curvas para }x_n).é
Cada (x_{n},y_{n}) pertence ao domínio (porque y_n está estritamente entre x_n^2 e x_n/2). Mas (x_{n},y_{n})\to (0,0) quando n\to\infty, e (0,0) está sobre a reta y=\dfrac{x}{2} (e aí o denominador é zero), portanto (0,0)\notin D. Assim existe uma sequência em D convergente a um ponto fora de D, então D não é fechado.
Passo 7
Por que o domínio é conexo (na verdade, é path-conexo):
Intuição: o domínio é a “fita” contínua situada entre duas curvas contínuas. Para mostrar que é conexo, é suficiente construir caminhos contínuos dentro do domínio que conectem pontos quaisquer.
Construção de um caminho (esquema explícito, fácil de aplicar em prova):
Para cada x defina um ponto interior ao segmento entre as curvas, por exemplo
onde \varepsilon(x)>0 é uma pequena função contínua que faz com que y_{*}(x) fique estritamente entre x^{2} e \tfrac{x}{2} para todo x (por exemplo \varepsilon(x)=\tfrac{1}{10}e^{-x^{2}}, que é sempre positiva e muito pequena). Assim o gráfico x\mapsto (x,y_{*}(x)) é uma curva contínua que corre pelo “interior” da fita e não toca a reta excluída.
Dado qualquer ponto (x_{0},y_{0}) do domínio, o segmento vertical que vai de (x_{0},y_{0}) até (x_{0},y_{*}(x_{0})) fica inteiramente dentro do segmento permitido em x_{0}, logo está contido no domínio.
Para dois pontos quaisquer do domínio, primeiro sobe-se/ desce-se verticalmente até tocar a curva interior y_{*} (cada um no seu x correspondente), depois percorre-se a curva x\mapsto (x,y_{*}(x)) continuamente de um x ao outro e finalmente desce-se/ sobe-se verticalmente até o ponto destino. Como todas essas etapas ficam dentro da fita e a curva y_{*} foi escolhida para evitar a reta excluída, o caminho inteiro está dentro do domínio.
Portanto qualquer dois pontos do domínio podem ser ligados por um caminho contido no domínio, logo o domínio é path-conexo e, consequentemente, conexo.
Passo 8
Resumo geométrico final (para desenhar no caderno):
Desenhe a parábola y=x^{2}.
Desenhe a reta y=\dfrac{x}{2}.
Marque os pontos de interseção (0,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}).
Sombreie a região entre essas duas curvas (em cada abscissa x o segmento entre x^{2} e \tfrac{x}{2}), mas deixe a reta y=\tfrac{x}{2} não sombreada (ela está excluída). A parábola (y=x^{2}) pertence ao domínio exceto nos dois pontos de interseção que coincidem com a reta (esses dois pontos são excluídos).