1. Dada a função f(x, y)=\sqrt{25-x^{2}}.
    a) Identifique o domínio de f e represente no plano.
    b) Qual sua imagem?
    c) Construa seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}} e pede três coisas:
  • (a) Identificar o domínio de f e representá‑lo no plano;
  • (b) Determinar a imagem (conjunto de valores de saída) de f;
  • (c) Construir (descrever/representar) o gráfico de f em \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula de f depende de x e y, mas a expressão sob a raiz envolve somente x: 25-x^{2}.
  • A presença da raiz quadrada impõe a condição de que o radicando seja não negativo: 25-x^{2}\ge 0.
  • Não há nenhuma outra restrição explícita em y.

Passo 2

Determinar o domínio: regra e resolução da desigualdade.
  • Lembrete rápido: para que \sqrt{\cdot} seja real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Ou seja, devemos exigir
25-x^{2}\ge 0.
  • Resolver a desigualdade \;25-x^{2}\ge 0\;:
25-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 25.
  • A solução da desigualdade x^{2}\le 25 é o intervalo
-5\le x\le 5,
pois x^{2}\le 25 exatamente quando |x|\le 5.
  • Sobre y: não aparece na condição, portanto y pode ser qualquer número real: y\in\mathbb{R}.
Conclusão do domínio em forma de conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -5\le x\le 5\}.
Explicação didática do desenho no plano: isso é uma faixa (uma “tira” vertical) do plano xy limitada pelas retas verticais x=-5 e x=5, incluindo as fronteiras. Para representar: trace as retas x=-5 e x=5 e sombreie toda a região entre elas (toda a altura em y para cada x entre -5 e 5).

Passo 3

Verificação por exemplos (didática pequena para fixar):
  • Se x=0 então 25-x^{2}=25 e a raiz é \sqrt{25}=5 (valor máximo possível para o radicando);
  • Se x=5 ou x=-5 então 25-x^{2}=0 e a raiz é 0 (valor mínimo possível);
  • Se |x|>5 o radicando fica negativo, por isso esses x não pertencem ao domínio.

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
  • Observação importante: a função t\mapsto\sqrt{t} é crescente para t\ge 0. Então os valores de f seguem a variação do radicando 25-x^{2} no intervalo permitido de x.
  • Como vimos, para x\in[-5,5] temos 0\le 25-x^{2}\le 25. Aplicando a raiz, obtemos
0\le \sqrt{25-x^{2}}\le \sqrt{25}=5.
  • Valores extremos atingidos: f(0,y)=5 produz o máximo 5; f(\pm5,y)=0 produz o mínimo 0.
Portanto a imagem é o intervalo
\mathrm{Im}(f)=[0,5].

Passo 5

Descrição matemática do gráfico e interpretação geométrica.
  • Por definição, o gráfico de f\) é o conjunto de pontos \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) tais que \[z=f(x,y)=\sqrt{25-x^{2}},
com -5\le x\le 5 e y\in\mathbb{R}.
  • Uma reescrita útil: elevando ao quadrado (lembrando que z\ge 0) obtemos a equação
x^{2}+z^{2}=25,\qquad z\ge 0.
  • Isso diz o seguinte: para cada valor fixo de y (qualquer y), a curva obtida no plano xz é a semicircunferência superior de raio 5 centrada na origem do plano xz. Ao variar y, essa semicircunferência é “transladada” ao longo do eixo y. Ou seja, o gráfico é um cilindro (no sentido de superfície gerada pela transladação) cuja seção transversal é uma semicircunferência: é o semi‑cilindro circular de raio 5 voltado para cima.
  • Forma paramétrica conveniente (para desenhar ou análise):
\begin{cases} x=5\cos t,\\[4pt] y=s,\\[4pt] z=5\sin t, \end{cases} \qquad t\in[0,\pi],\quad s\in\mathbb{R}.
Aqui t\] percorre a semicircunferência superior e \(s é o parâmetro de translação ao longo do eixo y.]

Passo 6

Como construir/representar o gráfico passo a passo (dicas práticas para a prova):
  1. Desenhe os três eixos x, y, z com o eixo z para cima, x para a direita e y saindo/entrando (esquema de perspectiva).
  2. No plano y=0 (plano xz) desenhe a semicircunferência superior de raio 5: equação x^{2}+z^{2}=25 com z\ge 0.
  3. Marque os pontos extremos: (x,z)=(0,5) (pico) e (\pm5,0) (bordas).
  4. A partir dessa semicircunferência, “puxe” essa curva ao longo do eixo y para ambos os sentidos (para y\to+\infty e y\to -\infty). Isso gera a superfície do gráfico: uma superfície cilíndrica cujo contorno (borda) consiste de duas retas parelelamente ao eixo y localizadas em (x,z)=(5,0) e (x,z)=(-5,0).
  5. Para ajudar a visualizar, desenhe algumas semicircunferências paralelas no plano y=y_{0} para dois ou três valores de y_{0} (por exemplo y_{0}=-2,0,2). Elas serão idênticas e alinhadas, mostrando que o gráfico é a mesma semicircunferência repetida ao longo de y.

Passo 7

Observações finais (intuitivas e motivadoras):
  • O fato de y não aparecer em f torna o gráfico “independente” de y: tudo se repete igual para qualquer y. Isso simplifica bastante o desenho: basta entender a curva em xz e extrudá‑la ao longo de y.
  • Se a raiz fosse \sqrt{25-x^{2}-y^{2}}, o gráfico seria a superfície superior de uma esfera de raio 5; aqui, por depender só de x, o formato é cilíndrico (sem curvatura ao longo de y).

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -5\le x\le 5\}.\n
Imagem: [0,5].\n
Gráfico: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=\sqrt{25-x^{2}},\\\ -5\le x\le 5,\\ y\in\mathbb{R}\}, ou equivalentemente a superfície definida por x^{2}+z^{2}=25 com z\ge 0 (semi‑cilindro de raio 5 prolongado ao longo do eixo y).

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