Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{2 x-1}}{y+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{\sqrt{2x-1}}{y+x^{2}}
e pede: representar graficamente o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de pontos (x,y) no plano onde f está bem definida).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{2x-1} no numerador.
  • Há uma divisão por y+x^{2} no denominador.
O que precisamos determinar (claramente):
  • Quais valores de x e y tornam a expressão real e bem definida?
  • Escrever esse conjunto e dizer como desenhá-lo no plano (x,y).

Passo 2

Condição da raiz quadrada: explicar e aplicar.
A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
2x-1 \ge 0.
Resolver essa desigualdade passo a passo: somo 1 em ambos os lados e dividimos por 2:
2x-1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge \tfrac{1}{2}.
Interpretação: nenhum ponto com x<\tfrac{1}{2} pode estar no domínio — a função não é real aí. Então já temos a primeira restrição: só consideramos a metade direita do plano, incluindo a reta vertical x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Condição do denominador: explicar e aplicar.
Uma fração real não pode ter denominador igual a zero. Portanto devemos ter
y+x^{2}\neq 0.
Isto significa que pontos que satisfaçam y=-x^{2} são proibidos (pois aí o denominador é zero). A curva y=-x^{2} é uma parábola voltada para baixo; todos os pontos dessa curva estão excluídos do domínio.

Passo 4

Combinar as duas condições para obter o domínio.
Juntando as condições dos passos anteriores, o domínio D é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
x\ge \tfrac{1}{2} \qquad\text{e}\qquad y\neq -x^{2}.
Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge \tfrac{1}{2}\text{ e }y\neq -x^{2}\}.
Explicação intuitiva: começamos com a semi-plano vertical que fica à direita da reta x=\tfrac{1}{2} (essa reta está incluída porque x=\tfrac{1}{2} torna a raiz igual a zero e isso é permitido), e depois retiramos os pontos que se encontram sobre a parábola y=-x^{2} dentro desse semi-plano.

Passo 5

Como desenhar isso no papel (passo a passo de rascunho na prova):
  1. Trace os eixos x e y. Marque a reta vertical x=\tfrac{1}{2} (uma linha tracejada é ok).
  2. Sombreie (ou marque com uma caneta) toda a região à direita dessa reta, incluindo a própria reta x=\tfrac{1}{2}. Essa é a condição x\ge\tfrac{1}{2}.
  3. Desenhe a parábola y=-x^{2} (abertura para baixo, vértice em (0,0)). Não precisa desenhar só a parte com x\ge\tfrac{1}{2}, mas atenção: só os pontos da parábola com x\ge\tfrac{1}{2} são relevantes para excluir — os pontos da parábola com x<\tfrac{1}{2} já estavam fora por causa da raiz.
  4. Risque ou deixe em branco (remova) a interseção da parábola com a região sombreada. Ou seja, sobre o sombreado mantenha tudo exceto os pontos que pertencem a y=-x^{2}.
Observação visual importante: a parábola atravessa a região sombreada a partir do ponto onde x=\tfrac{1}{2} e y=-\tfrac{1}{4} e continua para a direita; todos esses pontos devem ser removidos. A reta x=\tfrac{1}{2} continua inteira incluída, exceto o ponto \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\bigr) (que está sobre a parábola e portanto é excluído).

Passo 6

Exemplos concretos para confirmar entendimento (teste rápido de pontos):
  • (x,y)=(1,0): x\ge\tfrac{1}{2} ok; y+x^{2}=0+1=1\neq0 ok. Logo pertence ao domínio.
  • (x,y)=(1,-1): x\ge\tfrac{1}{2} ok; y+x^{2}=-1+1=0 proibido. Logo não pertence ao domínio (é ponto da parábola).
  • (x,y)=(0,0): x<\tfrac{1}{2} então está fora do domínio (mesmo que y+x^{2}\neq0).
  • (x,y)=\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr): aqui x=\tfrac{1}{2} permitido; y+x^{2}=0+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}\neq0 permitido. Pertence ao domínio.
  • (x,y)=\bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\bigr): aqui x=\tfrac{1}{2} e y=-x^{2}, então y+x^{2}=0 — excluído.

Passo 7

Observações finais e dica rápida para a prova
  • No rascunho desenhe a região claramente: metade direita do plano (incluindo x=\tfrac{1}{2}) e apague a curva y=-x^{2} nessa metade.
  • Ao justificar por escrito, diga as duas condições (argumento da raiz não negativo e denominador não nulo) e mostre a união delas como foi feito acima.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge \tfrac{1}{2}\\ \text{e}\\ y\neq -x^{2}\}

Exercícios relacionados