Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: representar graficamente o domínio dessa função (ou seja, o conjunto de pontos
no plano onde
está bem definida).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Há uma raiz quadrada
no numerador. - Há uma divisão por
no denominador.
O que precisamos determinar (claramente):
- Quais valores de
e tornam a expressão real e bem definida? - Escrever esse conjunto e dizer como desenhá-lo no plano
.
Passo 2
Condição da raiz quadrada: explicar e aplicar.
A raiz quadrada real
exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
Resolver essa desigualdade passo a passo: somo
em ambos os lados e dividimos por
:
Interpretação: nenhum ponto com
pode estar no domínio — a função não é real aí. Então já temos a primeira restrição: só consideramos a metade direita do plano, incluindo a reta vertical
.
Passo 3
Condição do denominador: explicar e aplicar.
Uma fração real não pode ter denominador igual a zero. Portanto devemos ter
Isto significa que pontos que satisfaçam
são proibidos (pois aí o denominador é zero). A curva
é uma parábola voltada para baixo; todos os pontos dessa curva estão excluídos do domínio.
Passo 4
Combinar as duas condições para obter o domínio.
Juntando as condições dos passos anteriores, o domínio
é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente
Em notação de conjuntos:
Explicação intuitiva: começamos com a semi-plano vertical que fica à direita da reta
(essa reta está incluída porque
torna a raiz igual a zero e isso é permitido), e depois retiramos os pontos que se encontram sobre a parábola
dentro desse semi-plano.
Passo 5
Como desenhar isso no papel (passo a passo de rascunho na prova):
- Trace os eixos
e . Marque a reta vertical (uma linha tracejada é ok). - Sombreie (ou marque com uma caneta) toda a região à direita dessa reta, incluindo a própria reta
. Essa é a condição . - Desenhe a parábola
(abertura para baixo, vértice em ). Não precisa desenhar só a parte com , mas atenção: só os pontos da parábola com são relevantes para excluir — os pontos da parábola com já estavam fora por causa da raiz. - Risque ou deixe em branco (remova) a interseção da parábola com a região sombreada. Ou seja, sobre o sombreado mantenha tudo exceto os pontos que pertencem a
.
Observação visual importante: a parábola atravessa a região sombreada a partir do ponto onde
e
e continua para a direita; todos esses pontos devem ser removidos. A reta
continua inteira incluída, exceto o ponto
(que está sobre a parábola e portanto é excluído).
Passo 6
Exemplos concretos para confirmar entendimento (teste rápido de pontos):
-
: ok; ok. Logo pertence ao domínio. -
: ok; proibido. Logo não pertence ao domínio (é ponto da parábola). -
: então está fora do domínio (mesmo que ). -
: aqui permitido; permitido. Pertence ao domínio. -
: aqui e , então — excluído.
Passo 7
Observações finais e dica rápida para a prova
- No rascunho desenhe a região claramente: metade direita do plano (incluindo
) e apague a curva nessa metade. - Ao justificar por escrito, diga as duas condições (argumento da raiz não negativo e denominador não nulo) e mostre a união delas como foi feito acima.