Verifique se o campo vetorial F(x, y, z)=\frac{16 x^{5} y z+100 x^{2} y z+4 y z}{16 x^{2} y^{2} z^{2}} i-\frac{4 x^{6} z+100 x^{3} z-4 x z}{16 x^{2} y^{2} z^{2}} j- \frac{4 x^{6} y+100 x^{3} y-4 x y}{16 x^{2} y^{2} z^{2}} k é conservativo e, em caso afirmativo, encontre f tal que \nabla f=F. Em seguida, calcule a integral de linha de ( 1,1,2 ) até ( 3,2,2 ).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\frac{16 x^{5} y z+100 x^{2} y z+4 y z}{16 x^{2} y^{2} z^{2}}\,\mathbf{i} -\frac{4 x^{6} z+100 x^{3} z-4 x z}{16 x^{2} y^{2} z^{2}}\,\mathbf{j} -\frac{4 x^{6} y+100 x^{3} y-4 x y}{16 x^{2} y^{2} z^{2}}\,\mathbf{k}.
O que se pede:
  • Verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
  • Calcular a integral de linha de F ao longo de qualquer curva de (1,1,2) até (3,2,2) (isto é, calcular \displaystyle\int_{(1,1,2)}^{(3,2,2)} F\cdot d\mathbf{r} ).
Informações relevantes do enunciado:
  • O campo está escrito com denominador 16 x^{2} y^{2} z^{2}, logo está definido apenas onde x\neq0,\;y\neq0,\;z\neq0. O domínio natural do campo é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\;x\neq0,\;y\neq0,\;z\neq0\}.

Passo 2

Primeiro simplificar cada componente para trabalhar com expressões mais claras. Coloque D=16x^{2}y^{2}z^{2}.
Para a componente em \mathbf{i}:
\frac{16 x^{5} y z+100 x^{2} y z+4 y z}{D} =\frac{y z(16x^{5}+100x^{2}+4)}{16x^{2}y^{2}z^{2}} =\frac{16x^{5}+100x^{2}+4}{16x^{2}y z}.
Separando termos:
F_1(x,y,z)=\frac{x^{3}}{y z}+\frac{25}{4\,y z}+\frac{1}{4 x^{2} y z}.
Para a componente em -\mathbf{j}:
-\frac{4 x^{6} z+100 x^{3} z-4 x z}{D} =-\frac{x z(4x^{5}+100x^{2}-4)}{16x^{2}y^{2}z^{2}} =-\frac{4x^{5}+100x^{2}-4}{16x y^{2} z},
portanto
F_2(x,y,z)=-\frac{x^{4}}{4 y^{2} z}-\frac{25 x}{4 y^{2} z}+\frac{1}{4 x y^{2} z}.
Para a componente em -\mathbf{k}:
-\frac{4 x^{6} y+100 x^{3} y-4 x y}{D} =-\frac{x y(4x^{5}+100x^{2}-4)}{16x^{2}y^{2}z^{2}} =-\frac{4x^{5}+100x^{2}-4}{16x y z^{2}},
portanto
F_3(x,y,z)=-\frac{x^{4}}{4 y z^{2}}-\frac{25 x}{4 y z^{2}}+\frac{1}{4 x y z^{2}}.
Essas formas mais simples facilitam achar uma potencial por integração direta.

Passo 3

Método: tentar construir uma função f tal que \partial f/\partial x=F_1, \partial f/\partial y=F_2, \partial f/\partial z=F_3. Vou integrar F_1 em relação a x, tratando y,z como constantes.
Integração termo a termo:
\int \frac{x^{3}}{y z}\,dx=\frac{1}{y z}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{x^{4}}{4 y z},
\int \frac{25}{4\,y z}\,dx=\frac{25}{4 y z}\,x=\frac{25 x}{4 y z},
\int \frac{1}{4 x^{2} y z}\,dx=\frac{1}{4 y z}\int x^{-2}dx=\frac{1}{4 y z}\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{4 x y z}.
Logo uma primitiva parcial é
f(x,y,z)=\frac{x^{4}}{4 y z}+\frac{25 x}{4 y z}-\frac{1}{4 x y z}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que surge porque a integração foi feita só em x.

Passo 4

Agora impor que \partial f/\partial y=F_2 para determinar g.
Calcule \partial f/\partial y dos termos encontrados (os três primeiros são da forma A/(y z) com A dependendo só de x):
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{A(x)}{y z}\right)=-\frac{A(x)}{y^{2} z}.
Aplicando com A(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{25x}{4}-\dfrac{1}{4x}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x^{4}}{4 y^{2} z}-\frac{25 x}{4 y^{2} z}+\frac{1}{4 x y^{2} z}+\frac{\partial g}{\partial y}.
Comparando com F_2(x,y,z)=-\dfrac{x^{4}}{4 y^{2} z}-\dfrac{25 x}{4 y^{2} z}+\dfrac{1}{4 x y^{2} z}, vemos que para igualdade é necessário
\frac{\partial g}{\partial y}=0.
Assim g depende apenas de z: g(y,z)=h(z).

Passo 5

Impor agora \partial f/\partial z=F_3. Diferenciando f em relação a z (os três primeiros termos são da forma A(x)/(y z) ):
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{A(x)}{y z}\right)=-\frac{A(x)}{y z^{2}}.
Então
\frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{x^{4}}{4 y z^{2}}-\frac{25 x}{4 y z^{2}}+\frac{1}{4 x y z^{2}}+h'(z).
Comparando com F_3(x,y,z)=-\dfrac{x^{4}}{4 y z^{2}}-\dfrac{25 x}{4 y z^{2}}+\dfrac{1}{4 x y z^{2}} resulta h'(z)=0. Portanto h é constante.
Conclusão: F é conservativo no domínio onde está definido (ou seja, em cada componente conectada do conjunto \{x\neq0,y\neq0,z\neq0\} — por exemplo em cada octante), e uma potencial é
f(x,y,z)=\frac{x^{4}}{4 y z}+\frac{25 x}{4 y z}-\frac{1}{4 x y z}+C,
onde C é constante.

Passo 6

Como F é conservativo, a integral de linha entre (1,1,2) e (3,2,2) independe da curva e vale f(3,2,2)-f(1,1,2). Tomando C=0 para simplicidade, calcule f nos pontos:
Para (3,2,2):
f(3,2,2)=\frac{3^{4}}{4\cdot2\cdot2}+\frac{25\cdot3}{4\cdot2\cdot2}-\frac{1}{4\cdot3\cdot2\cdot2} =\frac{81}{16}+\frac{75}{16}-\frac{1}{48} =\frac{156}{16}-\frac{1}{48} =\frac{468}{48}-\frac{1}{48}=\frac{467}{48}.
Para (1,1,2):
f(1,1,2)=\frac{1^{4}}{4\cdot1\cdot2}+\frac{25\cdot1}{4\cdot1\cdot2}-\frac{1}{4\cdot1\cdot1\cdot2} =\frac{1}{8}+\frac{25}{8}-\frac{1}{8}=\frac{25}{8}=\frac{150}{48}.
Portanto a integral de linha é
f(3,2,2)-f(1,1,2)=\frac{467}{48}-\frac{150}{48}=\frac{317}{48}.

Resposta

Sim; f(x,y,z)=\dfrac{x^{4}}{4 y z}+\dfrac{25 x}{4 y z}-\dfrac{1}{4 x y z}+C (válida onde x\neq0,\;y\neq0,\;z\neq0).
\displaystyle \int_{(1,1,2)}^{(3,2,2)} F\cdot d\mathbf{r}=\frac{317}{48}.

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