Verifique se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontre
tal que
. Em seguida, calcule a integral de linha de (
) até (
).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
O que se pede:
- Verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que . - Calcular a integral de linha de
ao longo de qualquer curva de até (isto é, calcular ).
Informações relevantes do enunciado:
- O campo está escrito com denominador
, logo está definido apenas onde . O domínio natural do campo é .
Passo 2
Primeiro simplificar cada componente para trabalhar com expressões mais claras. Coloque
.
Para a componente em
:
Separando termos:
Para a componente em
:
portanto
Para a componente em
:
portanto
Essas formas mais simples facilitam achar uma potencial por integração direta.
Passo 3
Método: tentar construir uma função
tal que
,
,
. Vou integrar
em relação a
, tratando
como constantes.
Integração termo a termo:
Logo uma primitiva parcial é
onde
é uma função arbitrária que surge porque a integração foi feita só em
.
Passo 4
Agora impor que
para determinar
.
Calcule
dos termos encontrados (os três primeiros são da forma
com
dependendo só de
):
Aplicando com
, obtemos
Comparando com
, vemos que para igualdade é necessário
Assim
depende apenas de
:
.
Passo 5
Impor agora
. Diferenciando
em relação a
(os três primeiros termos são da forma
):
Então
Comparando com
resulta
. Portanto
é constante.
Conclusão:
é conservativo no domínio onde está definido (ou seja, em cada componente conectada do conjunto
— por exemplo em cada octante), e uma potencial é
onde
é constante.
Passo 6
Como
é conservativo, a integral de linha entre
e
independe da curva e vale
. Tomando
para simplicidade, calcule
nos pontos:
Para
:
Para
:
Portanto a integral de linha é
Resposta
Sim;
(válida onde
).
.