Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (2 y+3 x)+\frac{\sqrt{x-y}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\ln(2y+3x)+\dfrac{\sqrt{x-y}}{x^{2}+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é definida em termos de x e y reais.
  • Há uma função logarítmica \ln(\cdot) e uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} na expressão.
  • O denominador x^{2}+1 aparece na fração.
As perguntas implícitas que precisamos responder:
  • Para quais pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} a expressão está bem definida?
  • Como esse conjunto aparece no plano (x,y) — isto é, qual a região a ser desenhada?

Passo 2

Vamos traduzir as restrições matemáticas que vêm de cada parte da função (cada condição diz “o que é necessário para a parte existir”).
  1. A parte logarítmica: a função \ln(t) está definida somente para t>0.
    Aqui t=2y+3x. Logo é necessário:
    2y+3x>0.
  2. A raiz quadrada: \sqrt{u} está definida para u\ge 0.
    Aqui u=x-y. Logo é necessário:
    x-y\ge 0.
  3. O denominador: x^{2}+1 nunca é zero (pois x^{2}\ge 0 e x^{2}+1\ge 1), então não impõe restrição extra.
Portanto as condições simultâneas são:
2y+3x>0,\qquad x-y\ge 0.

Passo 3

Reescrevendo as desigualdades em forma de duas retas no plano:
  • A equação \,2y+3x=0, é a reta
    y=-\tfrac{3}{2}x.
    A desigualdade \,2y+3x>0 equivale a
    y>-\tfrac{3}{2}x,
    isto é, pontos estritamente acima dessa reta (linha não incluída por causa do >).
  • A equação \,x-y=0, é a reta
    y=x.
    A desigualdade \,x-y\ge 0 equivale a
    y\le x,
    isto é, pontos na região abaixo ou sobre essa reta (reta incluída por causa do \ge).
Então o domínio é o conjunto de pontos que estão simultaneamente acima de y=-\tfrac{3}{2}x e abaixo (ou sobre) y=x.

Passo 4

Vamos entender geometricamente onde isso fica no plano:
  • As duas retas se cruzam em (0,0) porque resolvendo y=x e y=-\tfrac{3}{2}x x=0,y=0. Mas atenção: o ponto (0,0) NÃO pertence ao domínio porque aí 2y+3x=0 e a condição é >0.
  • Para saber qual lado de cada reta tomar, fazemos um teste rápido: pegue o ponto (1,0).
    2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3>0\quad\text{(ok para o ln)},\qquad 1-0=1\ge 0\quad\text{(ok para a raiz)}.
    Logo (1,0) está no domínio. Assim a região permitida contém pontos com x>0 entre as duas retas.

Passo 5

Mostrando que, na prática, só há pontos com x>0:
Se x\le 0, da desigualdade x-y\ge 0 segue y\le x\le 0. Então
2y+3x \le 2x+3x = 5x \le 0,
o que contradiz a necessidade 2y+3x>0. Logo não existem pontos do domínio com x\le 0. Portanto todo ponto do domínio satisfaz
x>0.
Com isso podemos reescrever o domínio de forma mais direta em função de x>0.

Passo 6

Conclusão algébrica e forma final do domínio:
Juntando tudo obtemos a descrição equivalente
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2y+3x>0,\;x-y\ge 0\}
e, usando x>0 comprovado acima,
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0,\; -\tfrac{3}{2}x<y\le x\}.
Interpretação gráfica (como desenhar):
  • Trace as retas y=x (reta com inclinação +1) e y=-\tfrac{3}{2}x (reta com inclinação -\tfrac{3}{2}).
  • A região do domínio é o “caule” entre essas duas retas para a direita do eixo y (ou seja, para x>0):
    • a borda superior y=x faz parte do domínio (reta sólida);
    • a borda inferior y=-\tfrac{3}{2}x não faz parte do domínio (reta pontilhada);
    • o ponto (0,0) não pertence ao domínio.
Exemplos rápidos:
  • (1,0) pertence ao domínio (teste feito antes).
  • (1,1) pertence (satisfaz y\le x com igualdade e 2\cdot1+3\cdot1=5>0).
  • (1,-2) NÃO pertence (porque -2\le -1{,}5 viola y>-\tfrac{3}{2}x).
  • Qualquer ponto com x\le 0 não pertence.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2y+3x>0,\;x-y\ge 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>0,\;-\tfrac{3}{2}x<y\le x\}

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