Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é definida em termos de
e reais. - Há uma função logarítmica
e uma raiz quadrada na expressão. - O denominador
aparece na fração.
As perguntas implícitas que precisamos responder:
- Para quais pares
a expressão está bem definida? - Como esse conjunto aparece no plano
— isto é, qual a região a ser desenhada?
Passo 2
Vamos traduzir as restrições matemáticas que vêm de cada parte da função (cada condição diz “o que é necessário para a parte existir”).
-
A parte logarítmica: a função
está definida somente para .
Aqui. Logo é necessário: -
A raiz quadrada:
está definida para .
Aqui. Logo é necessário: -
O denominador:
nunca é zero (pois e ), então não impõe restrição extra.
Portanto as condições simultâneas são:
Passo 3
Reescrevendo as desigualdades em forma de duas retas no plano:
-
A equação
, é a reta A desigualdadeequivale a isto é, pontos estritamente acima dessa reta (linha não incluída por causa do >). -
A equação
, é a reta A desigualdadeequivale a isto é, pontos na região abaixo ou sobre essa reta (reta incluída por causa do).
Então o domínio é o conjunto de pontos que estão simultaneamente acima de
e abaixo (ou sobre)
.
Passo 4
Vamos entender geometricamente onde isso fica no plano:
-
As duas retas se cruzam em
porque resolvendo e dá . Mas atenção: o ponto NÃO pertence ao domínio porque aí e a condição é . -
Para saber qual lado de cada reta tomar, fazemos um teste rápido: pegue o ponto
. Logoestá no domínio. Assim a região permitida contém pontos com entre as duas retas.
Passo 5
Mostrando que, na prática, só há pontos com
:
Se
, da desigualdade
segue
. Então
o que contradiz a necessidade
. Logo não existem pontos do domínio com
. Portanto todo ponto do domínio satisfaz
Com isso podemos reescrever o domínio de forma mais direta em função de
.
Passo 6
Conclusão algébrica e forma final do domínio:
Juntando tudo obtemos a descrição equivalente
e, usando
comprovado acima,
Interpretação gráfica (como desenhar):
- Trace as retas
(reta com inclinação ) e (reta com inclinação ). - A região do domínio é o “caule” entre essas duas retas para a direita do eixo
(ou seja, para ): - a borda superior
faz parte do domínio (reta sólida); - a borda inferior
não faz parte do domínio (reta pontilhada); - o ponto
não pertence ao domínio.
- a borda superior
Exemplos rápidos:
-
pertence ao domínio (teste feito antes). -
pertence (satisfaz com igualdade e ). -
NÃO pertence (porque viola ). - Qualquer ponto com
não pertence.