Q1:
Escreva o conjunto solução da seguinte equação e verifique o valor encontrado:
\frac{2 x+5}{5}-\frac{3 x+2}{2}=2 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o conjunto solução da equação e verificar o valor encontrado. A equação dada é
\frac{2 x+5}{5}-\frac{3 x+2}{2}=2 \sqrt{3}.
Informações relevantes:
\text{(i)}\\ \text{Temos termos racionais } \frac{2x+5}{5}\\ \text{e}\\ \frac{3x+2}{2}.
\text{(ii)}\\ \text{O membro direito é } 2\sqrt{3}.é
\text{(iii)}\\ \text{Queremos encontrar todos os } x \text{ que satisfazem essa igualdade e depois conferir por substituição.}çã

Passo 2

Primeiro objetivo: eliminar frações para trabalhar com uma equação mais simples. Para isso usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 5 e 2, que é 10. Multiplicar ambos os lados da equação por 10 é uma operação permitida porque 10\neq0 e preserva a igualdade. Aplicando isso:
10\left(\frac{2 x+5}{5}-\frac{3 x+2}{2}\right)=10\cdot 2\sqrt{3}.

Passo 3

Distribuímos o 10 nos termos de dentro do parêntese, lembrando que multiplicação distribui sobre subtração:
10\cdot\frac{2 x+5}{5}-10\cdot\frac{3 x+2}{2}=20\sqrt{3}.
Agora simplificamos cada produto com fração: \;10\cdot\frac{2 x+5}{5}=2(2x+5)\; porque 10/5=2, e \;10\cdot\frac{3 x+2}{2}=5(3x+2)\; porque 10/2=5. Assim obtemos
2(2x+5)-5(3x+2)=20\sqrt{3}.

Passo 4

Expandimos os parênteses passo a passo (aqui uso a propriedade distributiva: a(b+c)=ab+ac):
2(2x)+2(5)-5(3x)-5(2)=20\sqrt{3}.
Isso dá
4x+10-15x-10=20\sqrt{3}.

Passo 5

Agora combinamos termos semelhantes no lado esquerdo (soma/algebra de termos em x e constantes):
4x-15x + 10-10 =20\sqrt{3}.
-11x + 0 =20\sqrt{3}.
Logo chegamos à equação simples
-11x=20\sqrt{3}.

Passo 6

Isolamos x dividindo ambos os lados por -11. Isso é válido porque -11\neq0. Assim:
x=\frac{20\sqrt{3}}{-11}=-\frac{20\sqrt{3}}{11}.
Aqui usei a regra \dfrac{a}{-b}= -\dfrac{a}{b}.

Passo 7

Agora vamos verificar o valor encontrado substituindo x na equação original. Substituímos \;x=-\dfrac{20\sqrt{3}}{11}\; em cada termo. Começo calculando 2x+5:
2x+5=2\!\left(-\frac{20\sqrt{3}}{11}\right)+5=-\frac{40\sqrt{3}}{11}+5.
Escrevo 5 com denominador 11: 5=\dfrac{55}{11}. Então
2x+5=\frac{-40\sqrt{3}+55}{11}.

Passo 8

Divido por 5 para obter \dfrac{2x+5}{5}:
\frac{2x+5}{5}=\frac{-40\sqrt{3}+55}{11}\cdot\frac{1}{5}=\frac{-40\sqrt{3}+55}{55}.
Separe em duas parcelas:
\frac{-40\sqrt{3}}{55}+\frac{55}{55}=-\frac{40}{55}\sqrt{3}+1.
Simplificando a fração \dfrac{40}{55}=\dfrac{8}{11}, obtemos
\frac{2x+5}{5}=1-\frac{8}{11}\sqrt{3}.

Passo 9

Agora calculamos 3x+2 e depois \dfrac{3x+2}{2}. Primeiro
3x+2=3\!\left(-\frac{20\sqrt{3}}{11}\right)+2=-\frac{60\sqrt{3}}{11}+2.
Escrevo 2=\dfrac{22}{11}, daí
3x+2=\frac{-60\sqrt{3}+22}{11}.
Dividindo por 2:
\frac{3x+2}{2}=\frac{-60\sqrt{3}+22}{11}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-60\sqrt{3}+22}{22}.
Separando:
\frac{-60\sqrt{3}}{22}+\frac{22}{22}=-\frac{60}{22}\sqrt{3}+1.
Simplificando \dfrac{60}{22}=\dfrac{30}{11}, obtemos
\frac{3x+2}{2}=1-\frac{30}{11}\sqrt{3}.

Passo 10

Calculamos a diferença que aparece no lado esquerdo da equação original:
\frac{2x+5}{5}-\frac{3x+2}{2}=\left(1-\frac{8}{11}\sqrt{3}\right)-\left(1-\frac{30}{11}\sqrt{3}\right).
As constantes 1 se cancelam, restando
-\frac{8}{11}\sqrt{3} -\left(-\frac{30}{11}\sqrt{3}\right)=\left(-\frac{8}{11}+\frac{30}{11}\right)\sqrt{3}=\frac{22}{11}\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Isso é exatamente o lado direito da equação, então a verificação confirma que a solução encontrada satisfaz a igualdade.

Resposta

\displaystyle \left\{-\frac{20\sqrt{3}}{11}\right\}

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