Represente graficamente o domínio das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa representar graficamente o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \ln(2x + y) $. Isso envolve entender de onde a função está definida, ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ a função dá resultado real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática como raízes quadradas e logaritmos, que têm restrições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: $ \sqrt{9 - x^{2}} $. A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Isso significa que:
E tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Então, $ x $ precisa estar entre -3 e 3 para a raiz quadrada funcionar direitinho.
Passo 3
Agora, vamos ver a parte do logaritmo: $ \ln(2x + y) $. O logaritmo só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:
Podemos reescrever isso para facilitar a visualização:
Então, $ y $ precisa ser maior que -2 vezes $ x $.
Passo 4
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
- $ -3 \leq x \leq 3 $
- $ y > -2x $
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo.
Passo 5
Para representar isso graficamente, vamos imaginar o plano cartesiano:
- Primeiro, desenhamos as linhas verticais $ x = -3 $ e $ x = 3 $ para indicar os limites de $ x $.
- Depois, desenhamos a linha reta $ y = -2x $. A região que nos interessa é acima dessa linha, onde $ y > -2x $.
A interseção dessas regiões nos dá o domínio da função.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{9 - x^{2}} + \ln(2x + y) $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ onde $ x $ está entre -3 e 3 e $ y $ é maior que -2 vezes $ x $. Graficamente, isso corresponde à área entre $ x = -3 $ e $ x = 3 $ e acima da linha reta $ y = -2x $.