Resolva as equações diferencias abaixo:
2 x y^prime-8 x+4 x^22 x^2+10 x y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
2 x y^prime - 8 x + 4 x^22 x^2 + 10 x y = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular termos envolvendo $ y $ e sua derivada $ y’ $, além de simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para isolar $ y’ $. Vamos reescrever a equação:
y'
A gente quer deixar a parte com $ y’ $ sozinha, então vamos mover os outros termos para o outro lado:
2x y' - 8x + 4x^22x^2 + 10x y = 0

Passo 3

Agora, vamos dividir tudo por $ 2x $ para resolver para $ y’ $:
2x
Simplificando cada termo:
y'

Passo 4

Vamos simplificar a fração no termo que multiplica $ y $:
y
Então, a equação fica:
2x2x^2 + 10x = 2x2x(x + 5) = 1x + 5

Passo 5

Essa equação é uma equação diferencial linear da forma:
y' + P(x) y = Q(x)
Onde:
  • $ P(x) = \frac{1}{x + 5} $
  • $ Q(x) = 4 $
Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 6

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando:
(x + 5) y' + (x + 5) cdot 1x + 5 y = 4(x + 5)

Passo 8

A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Então:
integral ddx [ (x + 5) y ] dx = integral 4(x + 5) dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 10

Simplificando a integral:
(x + 5) y = 2x^2 + 20x + C

Passo 11

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y
Podemos simplificar dividindo $ 2x^2 + 20x $ por $ x + 5 $:
y = 2x^2 + 20x + Cx + 5
Então:
2x^2 + 20x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2x + Cx + 5
Onde $ C $ é uma constante real.

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