Resolva as equações diferencias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular termos envolvendo $ y $ e sua derivada $ y’ $, além de simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para isolar $ y’ $. Vamos reescrever a equação:
A gente quer deixar a parte com $ y’ $ sozinha, então vamos mover os outros termos para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir tudo por $ 2x $ para resolver para $ y’ $:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Vamos simplificar a fração no termo que multiplica $ y $:
Então, a equação fica:
Passo 5
Essa equação é uma equação diferencial linear da forma:
Onde:
- $ P(x) = \frac{1}{x + 5} $
- $ Q(x) = 4 $
Para resolver, vamos usar o fator integrante.
Passo 6
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando:
Passo 8
A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Simplificando a integral:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Podemos simplificar dividindo $ 2x^2 + 20x $ por $ x + 5 $:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante real.