Resolva as equações diferencias dadas sujeitas as condiçōes iniciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. A equação é
com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar um fator integrante. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. Isso ajuda a identificar os componentes que precisamos para aplicar a técnica do fator integrante.
A equação dada é:
Vamos dividir tudo por
para isolar
:
Agora, a equação está no formato padrão:
onde
e
.
Passo 3
Agora que temos a equação no formato padrão, vamos identificar
e
:
Esses componentes são essenciais para encontrar o fator integrante, que vai nos ajudar a resolver a equação.
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Como
é positivo no nosso intervalo de interesse, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada de
.
Passo 6
Reconhecemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular a integral
usando integração por partes. Seja
e
, então
e
.
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: