Resolva as equações diferencias dadas sujeitas as condiçōes iniciais indicadas:
xdy-(3 y+x^5 e^x) d x=0, y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. A equação é xdy-(3 y+x^5 e^x) d x=0 com a condição inicial y(1)=2. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e usar um fator integrante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. Isso ajuda a identificar os componentes que precisamos para aplicar a técnica do fator integrante.
A equação dada é:
xdy - (3 y + x^5 e^x) dx = 0
Vamos dividir tudo por x para isolar dydx:
dydx = 3y + x^5 e^xx
Agora, a equação está no formato padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
onde P(x) = -3x e Q(x) = x^4 e^x.

Passo 3

Agora que temos a equação no formato padrão, vamos identificar P(x) e Q(x):
P(x) = -3x
Q(x) = x^4 e^x
Esses componentes são essenciais para encontrar o fator integrante, que vai nos ajudar a resolver a equação.

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante mu(x). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -3x dx = e^-3 ln|x| = |x|^-3
Como x é positivo no nosso intervalo de interesse, podemos simplificar para:
mu(x) = x^-3

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
x^-3 dydx - 3x x^-3 y = x^-3 x^4 e^x
Simplificando:
x^-3 dydx - 3x^-4 y = x e^x
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser escrita como a derivada de y cdot mu(x).

Passo 6

Reconhecemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de y e mu(x):
ddx ( y cdot x^-3 ) = x e^x
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( y cdot x^-3 ) dx = integral x e^x dx
A integral do lado esquerdo simplifica para:
y cdot x^-3 = integral x e^x dx + C

Passo 7

Vamos calcular a integral integral x e^x dx usando integração por partes. Seja u = x e dv = e^x dx, então du = dx e v = e^x.
Aplicando a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Substituindo de volta na equação:
y cdot x^-3 = x e^x - e^x + C
Multiplicando ambos os lados por x^3:
y = x^3 e^x - x^3 e^x cdot x^-3 + C x^3
y = x^3 e^x + C x^3

Passo 8

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(1) = 2 para encontrar a constante C:
2 = 1^3 e^1 + C cdot 1^3
2 = e + C
C = 2 - e

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x^3 e^x + (2 - e) x^3

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