Sejam os conjuntos e .
a) ( 0.75 pontos) encontre a matriz-transformação de vetores em ;
b) (0.75 pontos) encontre a partir de
c) ( 0.5 ponto) explicite seu raciocínio nas respostas acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores:
O que a questão pede é:
a) Encontrar a matriz de transformação que muda os vetores da base para a base .
b) Descobrir as coordenadas de um vetor na base , dado que suas coordenadas na base são .
c) Explicar o raciocínio usado nas respostas acima.
Vamos precisar entender sobre mudança de base e matrizes de transformação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a): encontrar a matriz de transformação de para .
Para isso, precisamos descobrir como os vetores da base são expressos na base . Isso envolve encontrar uma matriz que, quando multiplicada pelos vetores de , dê os vetores correspondentes de .
A matriz de transformação será formada pelas coordenadas dos vetores de em relação à base .
Passo 3
Vamos calcular a matriz de transformação [M).
Primeiro, representamos os vetores de em termos de . Ou seja, queremos encontrar coeficientes e tais que:
Resolvendo essas equações, encontramos os valores de .
Para o primeiro vetor:
Somando as duas equações:
Substituindo em (3 = 3 - b]:
Então, [(3,4) = 3(1,1) + 0(-1,1))
Para o segundo vetor:
Somando as duas equações:
Substituindo em (5 = 6 - d]:
Então,
Passo 4
Agora, organizamos esses coeficientes na matriz de transformação M :
M = 3 & 6 0 & 1
Essa matriz M transforma as coordenadas dos vetores da base A para a base B .
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): encontrar [x]B sabendo que [x]A = (-1,3) .
Isso significa que o vetor x tem coordenadas (-1,3) na base A . Queremos descobrir como ele fica na base B .
Para isso, usamos a matriz de transformação M que encontramos:
Finalmente, para a parte c): o raciocínio foi baseado em entender que para mudar de uma base A para outra base B , precisamos expressar os vetores de A em termos de B . A matriz de transformação é construída com esses coeficientes, e para transformar as coordenadas de um vetor de A para B , multiplicamos a matriz pela coordenada na base A .
Resposta
a) A matriz de transformação de A para B é:
M = 3 & 6 0 & 1
b) As coordenadas de x na base B são [x]B = (15, 3) .