Represente graficamente e obtenha a série de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar graficamente e obter a série de Fourier de
Intervalo fundamental:
. Vou construir a série de Fourier padrão em
e descrever o gráfico periódico resultante.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a forma geral da série de Fourier para uma função de período
definida em
. A série tem a forma
onde os coeficientes são dados por
Explicando rápido e de forma prática:
mede a média da função no período;
mede a “projeção” da função nas cossenos (componentes pares) e
mede a “projeção” nas senos (componentes ímpares). Vamos calcular esses integrais usando a definição peça a peça de
.
Passo 3
Calcular
. Usamos a decomposição em duas integrais conforme os ramos da função:
Calcule cada integral:
Somando,
Portanto o termo constante na série é
.
Passo 4
Calcular
para
. Montamos a integral peça a peça:
Avalie as primitivas. Como
, temos
Mas
e
, então essa parcela vale
.
Agora a segunda parcela:
Agora a segunda parcela:
Logo
para todo
. Isso significa que não há termos de cosseno na série.
Passo 5
Calcular
para
. Montamos a integral:
Usamos
. Então a primeira parcela é
onde usei
. A segunda parcela é
Somando as duas parcelas e multiplicando por
,
Agora use
. Portanto
Observe o que isso dá para
par e
ímpar:
- Se
é par, e . - Se
é ímpar, e .
Passo 6
Escrevemos a série usando apenas os
não nulos (índices ímpares). Assim a série de Fourier fica
É comum reindexar com
para somar sobre
. Fazendo isso:
Isso é a forma final da série.
Passo 7
Comentários de convergência e gráfico:
- A extensão periódica de
tem período com em e em . Há saltos em e em (pontos de descontinuidade). - Em pontos de descontinuidade a série de Fourier converge para a média dos limites laterais. Por exemplo em
os limites são e , a média é , que é exatamente o valor que aparece na série. Isso confirma a coerência da série. - Observação prática: a série usa só senos ímpares (mais uma constante), logo tem somente harmônicos ímpares. Os primeiros termos (soma parcial) são
e já com poucos termos essa soma parcial aproxima a função por trechos, mostrando as oscilações típicas de Gibbs próximas aos saltos.
Resposta
Gráfico: extensão periódica de período
com
para
e
para
(saltos em
e
).
Série de Fourier:
Série de Fourier: