Represente graficamente e obtenha a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado: \(f(x)= \begin{cases}-1, & -\pi<x<0 \\\\ 2, & 0 \leq x<\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar graficamente e obter a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado. As informações fornecidas são: \[f(x)= \begin{cases}-1, & -\pi<x<0,\\[4pt] 2, & 0 \leq x<\pi.\end{cases}
Intervalo fundamental: -\pi<x<\pi\]. A função será considerada periodicamente estendida com período \(2\pi. Vou construir a série de Fourier padrão em (- \pi,\pi) e descrever o gráfico periódico resultante.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a forma geral da série de Fourier para uma função de período 2\pi definida em (- \pi,\pi). A série tem a forma
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad (n\ge 1),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad (n\ge 1).
Explicando rápido e de forma prática: a_0 mede a média da função no período; a_n mede a “projeção” da função nas cossenos (componentes pares) e b_n mede a “projeção” nas senos (componentes ímpares). Vamos calcular esses integrais usando a definição peça a peça de f(x).

Passo 3

Calcular a_0. Usamos a decomposição em duas integrais conforme os ramos da função:
a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dx+\int_{0}^{\pi}2\,dx\right).
Calcule cada integral:
\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dx = -1\cdot(\,0-(-\pi)\,)= -\pi,
\int_{0}^{\pi}2\,dx = 2\cdot(\pi-0)=2\pi.
Somando,
a_0=\frac{1}{\pi}\bigl(-\pi+2\pi\bigr)=\frac{1}{\pi}\pi=1.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge 1. Montamos a integral peça a peça:
a_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}2\cos(nx)\,dx\right).
Avalie as primitivas. Como \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx), temos
\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos(nx)\,dx = -\frac{1}{n}\bigl(\sin(0)-\sin(-n\pi)\bigr).
Mas \sin(0)=0 e \sin(-n\pi)=-\sin(n\pi)=0, então essa parcela vale 0.
Agora a segunda parcela:
\int_{0}^{\pi}2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(0)\bigr)=\frac{2}{n}(0-0)=0.
Logo a_n=0 para todo n\ge 1. Isso significa que não há termos de cosseno na série.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge 1. Montamos a integral:
b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}2\sin(nx)\,dx\right).
Usamos \int \sin(nx)\,dx = -\dfrac{1}{n}\cos(nx). Então a primeira parcela é
\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin(nx)\,dx = -1\cdot\left(-\frac{1}{n}\bigl(\cos(0)-\cos(-n\pi)\bigr)\right) =\frac{1}{n}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr),
onde usei \cos(-n\pi)=\cos(n\pi). A segunda parcela é
\int_{0}^{\pi}2\sin(nx)\,dx = 2\cdot\left(-\frac{1}{n}\bigl(\cos(n\pi)-\cos(0)\bigr)\right) =-\frac{2}{n}\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr)=\frac{2}{n}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr).
Somando as duas parcelas e multiplicando por 1/\pi,
b_n=\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr)+\frac{2}{n}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr)\right) =\frac{3}{n\pi}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr).
Agora use \cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto
b_n=\frac{3}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Observe o que isso dá para n par e n ímpar:
  • Se n é par, (-1)^n=1 e b_n=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e b_n=\dfrac{3}{n\pi}\cdot 2=\dfrac{6}{n\pi}.

Passo 6

Escrevemos a série usando apenas os b_n não nulos (índices ímpares). Assim a série de Fourier fica
f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty} \frac{6}{n\pi}\sin(nx).í
É comum reindexar com n=2k+1 para somar sobre k=0,1,2,\dots. Fazendo isso:
f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{6}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).
Isso é a forma final da série.

Passo 7

Comentários de convergência e gráfico:
  • A extensão periódica de f tem período 2\pi com f(x)=-1 em -\pi<x<0 e f(x)=2 em 0\le x<\pi. Há saltos em x=0 e em x=\pm\pi (pontos de descontinuidade).
  • Em pontos de descontinuidade a série de Fourier converge para a média dos limites laterais. Por exemplo em x=0 os limites são \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 e \lim_{x\to0^+}f(x)=2, a média é ({-1}+2)/2=1/2, que é exatamente o valor \dfrac{a_0}{2} que aparece na série. Isso confirma a coerência da série.
  • Observação prática: a série usa só senos ímpares (mais uma constante), logo tem somente harmônicos ímpares. Os primeiros termos (soma parcial) são
\frac{1}{2}+\frac{6}{\pi}\left(\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{5}\sin 5x + \cdots\right),
e já com poucos termos essa soma parcial aproxima a função por trechos, mostrando as oscilações típicas de Gibbs próximas aos saltos.

Resposta

Gráfico: extensão periódica de período 2\pi com f(x)=-1 para -\pi<x<0 e f(x)=2 para 0\le x<\pi (saltos em x=0 e x=\pm\pi).
Série de Fourier:
f(x)=\frac{1}{2}+\frac{6}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Exercícios relacionados